Arco capaz (GIOI)

Enunciado

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores ${\overrightarrow {AP}}$ y ${\overrightarrow {BP}}$ son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que ${\overrightarrow {AP}}\perp {\overrightarrow {BP}}$. Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB.

Solución

Para ver que son ortogonales calculamos el producto escalar de los dos vectores.

${\overrightarrow {AP}}\cdot {\overrightarrow {BP}}=({\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {CP}})\cdot ({\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CP}})$

siendo C el centro de la circunferencia.

Desarrollando en esta expresión

${\overrightarrow {AP}}\cdot {\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CP}}\cdot ({\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {BC}})+{\overrightarrow {CP}}\cdot {\overrightarrow {CP}}$

Ahora bien, por ser puntos diametralmente opuestos, ${\overrightarrow {AC}}$ y ${\overrightarrow {BC}}$ son vectores del mismo módulo $R$, misma dirección y sentido contrario, por lo que

${\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {BC}}={\vec {0}}$    ${\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {BC}}=-{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=-|{\overrightarrow {AC}}|^{2}$

lo que nos lleva a

${\overrightarrow {AP}}\cdot {\overrightarrow {BP}}=-|{\overrightarrow {AC}}|^{2}+0+|{\overrightarrow {CP}}|^{2}$

Puesto que A y P se encuentran sobre la circunferencia, equidistan del punto C:

$|{\overrightarrow {AC}}|=R$    $|{\overrightarrow {CP}}|=R$

y por tanto

${\overrightarrow {AP}}\cdot {\overrightarrow {BP}}=-R^{2}+R^{2}=0$

El producto escalar es nulo y los vectores son, por tanto, ortogonales.

El resultado es independiente del punto $P$, siempre que se encuentre sobre la circunferencia. A esta construcción se la denomina arco capaz.

Para el proceso inverso, se trata de localizar el punto C tal que

$|{\overrightarrow {CA}}|=|{\overrightarrow {CB}}|=|{\overrightarrow {CP}}|$

Se puede ver que la situación es la misma, aunque la figura esté girada. Tenemos dos vectores ${\overrightarrow {AP}}$ y ${\overrightarrow {BP}}$ de los que sabemos que son ortogonales, esto es

${\overrightarrow {AP}}\cdot {\overrightarrow {BP}}=0$

Tomamos el punto C, que es el punto medio de A y B y por tanto verifica

${\overrightarrow {BC}}=-{\overrightarrow {AC}}=-{\frac {\overrightarrow {AB}}{2}}\qquad \Rightarrow \qquad |{\overrightarrow {CA}}|=|{\overrightarrow {CB}}|$

Queda entonces demostrar que

$|{\overrightarrow {AC}}|{\stackrel {?}{=}}|{\overrightarrow {CP}}|$

La demostración del enunciado recíproco es completamente análoga a la anterior. Operando exactamente como antes llegamos de nuevo a la igualdad

${\overrightarrow {AP}}\cdot {\overrightarrow {BP}}=-|{\overrightarrow {AC}}|^{2}+|{\overrightarrow {CP}}|^{2}$

siendo ahora el dato que el primer miembro es nulo y por tanto

$0=-|{\overrightarrow {AC}}|^{2}+|{\overrightarrow {CP}}|^{2}$ ⇒ $|{\overrightarrow {CP}}|=|{\overrightarrow {AC}}|={\frac {|{\overrightarrow {AB}}|}{2}}$

y por tanto el punto C se encuentra siempre a la misma distancia de P, siendo esta distancia igual a la mitad de la distancia entre A y B.

Esta construcción es útil en Mecánica. Imaginemos una escalera apoyada sobre una pared y el suelo. Cuando la escalera resbala, deslizándose sobre la pared y el suelo, ¿qué trayectoria describe el punto medio de la escalera? En este caso P es la esquina y A y B son los extremos de la escalera. C es su punto medio. Si L es la longitud de la escalera, este resultado prueba que $|{\overrightarrow {PC}}|=L/2$ y por tanto el punto C describe un arco de circunferencia.