Diferencia de potencial entre dos planos paralelo

Enunciado

Para el sistema del problema “Campo de dos planos paralelos”, calcule la diferencia de potencial entre el plano cargado positivamente y el cargado negativamente.

Solución

Tal como se ve en ese problema, el campo entre los dos planos es uniforme e igual a

${\vec {E}}={\frac {\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}}}{\vec {\imath }}$

Si tomamos un punto A en el primer plano y un punto B situado frente a el (significando frente a el que ${\overrightarrow {AB}}=b{\vec {\imath }}$), then we have

$\mathrm {d} {\vec {r}}=\mathrm {d} x{\vec {\imath }}$

y, por tanto,

$V_{A}-V_{B}=\int _{A}^{B}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=\int _{0}^{b}\left({\frac {\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}}}{\vec {\imath }}\right)\cdot (\mathrm {d} x{\vec {\imath }})=\int _{0}^{b}{\frac {\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}}}\mathrm {d} x={\frac {\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}}}b$

En términos de la carga almacenada en los planos tenemos que

$\sigma _{0}={\frac {Q}{S}}$

y por ello

$V_{A}-V_{B}={\frac {b}{\varepsilon _{0}S}}Q$

La diferencia de potencial entre planos paralelos es proporcional a la carga almacenada.

Podemos preguntarnos cuál es la diferencia de potencial si el punto B no está frente a A, sino en otra posición del plano negativo. El resultado no cambia ya que podemos hacer la integral a lo largo de un camino con dos tramos en ángulo recto, de A a P, situado frente a A, en el cual la integral es la que acabamos de calcular, y de P a B, en la cual la integral es nula por ser el campo perpendicular al camino de integración.