Mezcla de agua y vapor de agua

Enunciado

Se tiene un recipiente cilíndrico de paredes adiabáticas y con pistón móvil también adiabático, inmerso en un ambiente a 300 K y 101.3 kPa de presión. Dentro del recipiente se ponen en contacto 1 kg de agua a 100 ℃ (“subsistema 1”) con 1 m³ de vapor de agua a 200 ℃ (“subsistema 2”). El agua puede considerarse un líquido incompresible de densidad 958.4 kg/m³. El vapor de agua puede suponerse un gas ideal tal que a 100 ℃ y 101.3 kPa tiene una densidad de masa de 0.598 kg/m³. En todo el rango 100 ℃-200 ℃ su calor específico promedio vale Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_p=1.850\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}} . La entalpía específica de vaporización a 100 ℃ y 101.3 kPa vale 2257 kJ/kg.

1. Calcule, para una vez que se ha alcanzado el equilibrio térmico, qué cantidad de agua y de vapor de agua tenemos en el sistema. ¿Cuál es la proporción de la masa de vapor de agua respecto a la masa total (calidad del vapor)?
2. Calcule la variación de energía interna y de entalpía del sistema completo y de cada subsistema en este proceso, así como el trabajo realizado sobre el sistema completo y sobre cada subsistema.

Equilibrio térmico

En este sistema, lo que ocurre es que el vapor se enfría, cediendo calor al agua, que pasa a la forma gaseosa. Sin embargo, de manera análoga a lo que ocurre en el problema “Mezcla de agua y hielo”, puede suceder que todo el agua pase a vapor o que no lo haga.

Por ello, antes de hacer el cálculo del estado final, vamos a ver si en su enfriamiento, el vapor puede proporcionar el calor necesario.

Tenemos 1 kg de agua saturada. Para convertir toda esta agua en vapor saturado necesitamos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_v=m\,\Delta h_v = 1\,\mathrm{kg}\times 2257\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}= 2257\,\mathrm{kJ}}

En el proceso de enfriamiento del vapor de agua hasta 100 ℃, la cantidad de calor que se puede liberar es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{2\mathrm{out}}=m c_p(T_i-T_f)= \rho_v V_v c_p(T_i-T_f) = 0.598\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\times 1\,\mathrm{m}^3\times 1.85\,\mathrm{kJ}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}} (200-100)\,\mathrm{K}=110.6\,\mathrm{kJ}}

Vemos que no se puede evaporar, ni de lejos, toda el agua. Lo que ocurre es que el vapor se enfría, evaporando parcialmente el agua. Cuando el vapor llega a 100\,℃ se alcanza el equilibrio térmico (ya que el agua que se está evaporando sigue a 100 ℃) y el proceso se detiene

La masa que se evapora es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1=\frac{Q_{2\mathrm{out}}}{\Delta h_v}=0.049\,\mathrm{kg}}

Como resultado en el estado final tenemos una cantidad de agua

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y una cantidad de vapor

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Por tanto, la calidad del vapor resultante es

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Variación de energía y entalpía

Entalpía

La variacion en la entalpía del agua es la correspondiente a la que se evapora

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La del vapor corresponde al enfriamiento a presión constante

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta H_v = m c(T_f - T_i) = -110.6\,\mathrm{kJ}}

La veriación de entalpía del sistema es nula, como corresponde a un que las paredes sean adiabáticas y el proceso sea a presión constante.

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Energía interna

Para la energía interna debemos hallar el valor del trabajo realizado sobre cada subsistema. Tanto la evaporación del agua como el enfriamiento del vapor son a presión constante.

Tenemos, para el agua (incluyendo aquí la cantidad de agua que se evapora)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_a = -p_\mathrm{ext}(V_f - V_i)}

siendo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_i=\frac{m_a}{\rho_a} = \frac{1\,\mathrm{kg}}{958\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3}=0.00104\,\mathrm{m}^3}

y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_f = \frac{m_{af}}{\rho_a}+\frac{m_1}{\rho_v} = \left(\frac{0.951}{958}+\frac{0.049}{0.598} \right)\mathrm{m}^3=0.0820\,\mathrm{L}}

lo que da el trabajo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_a= -101.3\,\mathrm{kPa}\times (0.0820-0.00104)\,\mathrm{m}^3=-8.30\,\mathrm{kJ}}

y la variación de la energía interna del agua es

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Para el vapor (sin contar aquí el agua que se evapora) tenemos, de la misma manera

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siendo ahora

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y, aplicando la ley de Charles,

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lo que da el trabajo

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y la variación de la energía interna

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La variación de energía total es la suma de las dos

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Esta variación es positiva porque hay un trabajo neto sobre el sistema, ya que su volumen total se reduce.