Aro articulado en el extremo de una barra (Jun. 2023)

Enunciado

Una barra (sólido "0") homogénea y delgada de longitud $2R$ y masa despreciable está articulada en el punto fijo $O$. La barra está siempre contenida en el plano $OX_{1}Y_{1}$ y rota alrededor del eje fijo $OZ_{1}$. El sistema de ejes $OX_{0}Y_{0}Z_{0}$ se elige de modo que el eje $OX_{0}$ contenga siempre a la barra. Un aro (sólido "2") de radio $R$ y masa $m$, se articula sobre el extremo $A$ de la barra "0", de modo que puede rotar alrededor del eje $X_{2}$, paralelo en todo momento al eje $OY_{0}$. El sistema de ejes "2" se elige de modo que $Z_{2}$ sea perpendicular al plano del aro y el eje $X_{2}$ sea paralelo al $Y_{0}$. De este modo, el eje $Y_{2}$ contiene siempre al centro del aro y el plano $Y_{2}Z_{2}$ coincide con el plano $X_{0}Z_{0}$ El aro no rota alrededor del eje $Z_{2}$. El sistema está sometido a la acción de la gravedad, como se indica en la figura.

Nota: Utiliza la base vectorial asociada al sólido "0" para hacer todos los cálculos.

• Expresa los vectores de la base del sistema "2" en función de los vectores de la base "0", y los de la base "0" en función de los de la base "2".
• Encuentra la reducción cinemática de los movimientos {01}, {20} y {21} en el punto $A$.
• Calcula la cantidad de movimiento del aro y el o angular del aro en su centro de masas.
• Dibuja el diagrama de fuerzas y momentos sobre la barra y el aro.
• Escribe la expresión genérica de las fuerzas y momentos activos y vinculares que actúan sobre cada sólido. ¿Cuántas incógnitas tiene el problema?
• Escribe la expresión vectorial del T.C.M. y el T.M.C. aplicados a los dos sólidos ¿Cuántas ecuaciones pueden obtenerse? (No hay que escribir las ecuaciones)
• Escribe la energía potencial total del sistema "0" + "2".
• ¿Qué integral o integrales primeras del sistema "0" + "2" existen? ¿Por qué? (No hay que escribir las expresiones).

Supondremos a partir de ahora que la función de Lagrange tiene la forma ${\cal {L}}=A{\dot {\phi }}^{2}\operatorname {sen} \phi +B{\dot {\theta }}^{2}+C\cos \theta ,$ siendo $A$, $B$ y $C$ constantes conocidas.

• Aplica el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar las ecuaciones que describen el movimiento de los sólidos si se verifican estas dos ligaduras:

$g_{1}={\dot {\theta }}-\omega _{0}=0,\qquad g_{2}=2{\dot {\phi }}-\omega _{0}=0.$

• En $t=0^{-}$ tenemos $\phi (0)=\pi /4$, $\theta (0)=0$ y ${\dot {\phi }}(0^{-})={\dot {\theta }}(0^{-})=0$. Se aplica una percusión ${\vec {\hat {F}}}={\hat {F}}_{0}\,({\vec {\imath }}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0})$ en el punto $B$ del aro. Determina el valor de ${\dot {\phi }}(0^{+})$ y ${\dot {\theta }}(0^{+})$. (Las ligaduras del apartado anterior no se aplican en este apartado)