Modelo de atmósfera isoterma

Modelo de atmósfera isoterma

En el modelo de la atmósfera isoterma (en el que se supone que toda la troposfera está a la misma temperatura), la presión disminuye con la altura como

$p=p_{0}\mathrm {e} ^{-\alpha z}$

donde $z$ es la altura sobre el nivel del mar y $p_{0}=101325\,\mathrm {Pa}$. Se sabe que, en el aeropuerto de El Alto, en La Paz (Bolivia), que se encuentra a 4061 m de altitud, la presión atmosférica vale 62611 Pa. También se sabe que la densidad del aire a nivel del mar vale $\rho _{0}=1.225\,\mathrm {kg} /\mathrm {m} ^{3}$.

1. ¿Cuánto vale la densidad del aire en el aeropuerto de El Alto?
2. ¿Cuánto vale la presión atmosférica en lo alto del Everest (8848 m)?
3. La tabla adjunta da la temperatura de saturación del agua a diferentes presiones.

 

$p(\mathrm {kPa} )$	15	20	25	30	35	40
$T_{\mathrm {sat} }(\mathrm {K} )$	327.12	333.21	338.11	342.25	345.83	349.01
$p(\mathrm {kPa} )$	45	50	55	60	65	70
$T_{\mathrm {sat} }(\mathrm {K} )$	351.86	354.47	356.86	359.08	361.14	363.08
$p(\mathrm {kPa} )$	75	80	85	90	95	100
$T_{\mathrm {sat} }(\mathrm {K} )$	364.91	366.64	368.28	369.84	371.33	372.76

 

¿A qué temperatura hierve el agua en el aeropuerto de El Alto? ¿Y en el Everest?

Densidad del aire

Por la ley de los gases ideales

$\rho ={\frac {p}{R_{m}T}}$

y, si la temperatura es constante obtenemos la relación de proporcionalidad

${\frac {\rho (z)}{\rho _{0}}}={\frac {p}{p_{0}}}$

que no es otra que la ley de Boyle.

De aquí obtenemos la densidad en el aeropuerto de El Alto

$\rho (4016\,\mathrm {m} )=\rho (0\,\mathrm {m} )\,{\frac {p(4016\,\mathrm {m} )}{p(0\,\mathrm {m} )}}=1.225\,{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}\,{\frac {62611}{101325}}=0.757\,{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}$

Presión en el Everest

Para hallar la presión a otra altura necesitamos hallar el valor de α. eso lo conseguimos usando los dos valores que conocemos

$p(4016\,\mathrm {m} )=p(0\,\mathrm {m} )\mathrm {e} ^{-4016\,\alpha }$

y nos da

$62611=101325\mathrm {e} ^{-4016\,\alpha }\qquad \Rightarrow \qquad \alpha ={\frac {1}{4016\,\mathrm {m} }}\ln \left({\frac {101325}{62611}}\right)=1.20\times 10^{-4}\mathrm {m} ^{-1}$

Con esto podemos hallar la presión en el Everest

$p(8848\,\mathrm {m} )=p_{0}\mathrm {e} ^{-8848\alpha }=101325\mathrm {e} ^{-1.20\times 10^{-4}\cdot 8848}=35084\,\mathrm {Pa}$

Temperatura de ebullición

La ebullición se produce cuando la presión de saturación iguala a la atmosférica. Al nivel del mar es a 100℃.

En El Alto la presión es 62611  que es un punto intermedio entre 60 kPa y 65 kPa, por lo que la temperatura de ebullición es un valor entre 359.08 K y 361.14 . Con una precisión de tres cifras, podemos aproximar la temperatura de ebullición por 360 K = 87℃

En el everest la presión atmosférica es de 35 kPa, para la cual la temperatura de saturación (y de ebullición) es 345.83 K o aproximadamente 73℃