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Modelo de atmósfera isoterma

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Suponiendo que la densidad del aire en la atmósfera es proporcional a la presión, demuestre que la variación de la presión atmosférica con la altura es P(y) = P0e − αy, siendo g la aceleración de la gravedad y α = ρ0g / P0, con ρ0 y P0 la densidad del aire y la presión atmosférica a nivel del mar (y = 0).

2 Solución

2.1 Introducción

Antes de resolver el problema, es conveniente aclarar la razón de la palabra "isoterma" del título. Puede parecer incongruente, dado que en el enunciado del problema no se hace mención alguna a la temperatura.

La causa es la hipótesis “Suponiendo que la densidad del aire en la atmósfera es proporcional a la presión”.

¿Por qué es razonable hacer esta hipótesis? Para entenderlo, observamos que el aire se comporta aproximadamente como un gas ideal. Para un gas ideal, se cumple la ecuación de estado

pV = n R T\,

R es la constante de los gases ideales y la cantidad n es el número de moles, que será igual a la masa total del gas que tengamos, dividida por su peso molecular, esto es

p V = \frac{m}{P_m}RT   \Rightarrow   p = \frac{RT}{P_m}\,\frac{m}{V}=\frac{RT}{P_m}\rho

Si la temperatura del gas es la misma en todos los puntos, la presión es proporcional a la densidad, pero si varía, habrá que tenerlo en cuenta. La hipótesis de partida habrá dejado de ser cierta.

Para evitar usar el peso molecular, que para el aire es simplemente un promedio (pues se trata de una mezcla de gases), podemos escribir la ecuación anterior como

\frac{\rho T}{p}= \frac{\rho_0 T_0}{p_0}=\frac{P_m}{R}=\mathrm{cte}

siendo p0, ρ0 y T0 la presión densidad y temperatura en un punto concreto, por ejemplo, al nivel del mar. De aquí

\rho = \rho_0\left(\frac{T}{T_0}\right)\left(\frac{p}{p_0}\right)

si la temperatura es la misma en todos los puntos

\rho = \frac{\rho_0}{p_0}p

Esta es la hipótesis que haremos en el siguiente apartado. Más adelante veremos como queda si suponemos una temperatura que varía con la altura.

2.2 Solución isoterma

Consideremos una capa de aire de pequeño espesor dz y sección transversal S situada a una altura z. Puesto que esta capa se encuentra en equilibrio, la suma de fuerzas sobre ella es igual a 0.

Las fuerzas que actúan sobre esta lámina son su peso y la debidas a la presión en sus caras superior e inferior.

El peso de la lámina es igual a la aceleración de la gravedad multiplicada por la masa de la lámina, a su vez igual a la densidad por el volumen:

\mathrm{d}\mathbf{P}= -\mathrm{d}m\,g\mathbf{j}=-\rho(z)\,g\,\mathrm{d}V\,\mathbf{j}=\rho(z)\,g\,S\,\mathrm{d}z\,\mathbf{j}

La fuerza debida a la presión ejercida por el aire situado debajo de la capa será igual a la presión a esa altura multiplicada por la sección transversal, e irá dirigida hacia arriba

\mathbf{F}_\mathrm{inf}=p(z)\,S\,\mathbf{j}

La fuerza debida a la presión ejercida por el aire situado arriba irá dirigida hacia abajo y valdrá, análogamente

\mathbf{F}_\mathrm{sup}=-p(z+\mathrm{d}z)\,S\,\mathbf{j}

La condición de equilibrio nos da

\mathbf{0}=\sum\mathbf{F}=\left(-\rho(z)\,g\,\mathrm{d}z+p(z)-p(z+\mathrm{d}z)\right)\,S\,\mathbf{j}

Podemos reescribir esta condición como

\frac{p(z+\mathrm{d}z)-p(z)}{\mathrm{d}z}=-\rho(z)g

El primer miembro de esta ecuación es, por definición, la derivada de la presión con respecto a la altura z, lo que nos da la ecuación diferencial

\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=-\rho g

Esta ecuación es válida para cualquier variación de la densidad (siempre que se cumpla la condición de que la atmósfera se encuentra en equilibrio.

Sustituyendo ahora la relación de proporcionalidad entre la densidad y la presión, válida para la atmósfera isoterma

\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=-\frac{\rho_0g}{p_0}p

Se trata de hallar ahora una función cuya derivada es proporcional a la propia función. Esta es una propiedad característica de las exponenciales. Supongamos que la presión es de la forma

p=p_0 \mathrm{e}^{kz}\,

Se trata de calcular la constante k. Lo hacemos derivando

\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=kp_0\mathrm{e}^{kz}=kp

Vemos que ésta es solución si tomamos

k = -\alpha = -\frac{\rho_0g}{p_0}

Por tanto, la solución es una presión que disminuye exponencialmente con la altura como

p = p_0 \mathrm{e}^{-\alpha z}\,        \alpha = \frac{\rho_0g}{p_0}

La densidad de masa disminuirá de la misma forma

\rho=\frac{\rho_0p}{p_0} = \rho_0 \mathrm{e}^{-\alpha z}

la constante de decaimiento α vale

p_0=101325\,\mathrm{Pa}     \rho_0=1.3\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}    g=9.81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}   \Rightarrow   \alpha=1.26\times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{-1}=\frac{1}{7.95\,\mathrm{km}}

esto quiere decir que a una altura de 8 km la presión se ha reducido a una proporción 1/e = 36\%. la altura a la cual la presión se reduce a media atmósfera es

\frac{p_0}{2}=p(z)=\mathrm{e}^{-\alpha z}p_0   \Rightarrow   z = \frac{\ln(2)}{\alpha} = 5.5\,\mathrm{km}

Esta es la razón del llamado "mal de altura" que afecta a los escaladores.

2.3 Solución para un perfil de temperaturas

Generalicemos el cálculo anterior y consideremos que, como ocurre de hecho, la temperatura de la atmósfera varía con la altura. En concreto, para la capa más baja, la troposfera (hasta unos 10 km), la temperatura desciende de forma aproximadamente lineal con la altura:

T= T_0-kz\,        T_0\simeq 20\,^\circ\mathrm{C}= 293\,\mathrm{K}        k \simeq 6\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{km}}

Para considerar este caso, volvemos a la ley general

\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=-\rho g

Sustituyendo aquí la ley de los gases ideales, resulta

\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=-\frac{\rho_0 g}{p_0}\left(\frac{T_0}{T}\right)p

La solución de esta ecuación dependerá de como varíe T con la altura. Si suponemos que lo hace de una forma conocida, podemos escribir esta ecuación diferencial en la forma

\frac{\mathrm{d}p}{p}=-\frac{\rho_0gT_0}{p_0}\frac{\mathrm{d}z}{T(z)}

e integrarla

\int_{p_0}^p \frac{\mathrm{d}p}{p}=\ln\left(\frac{p}{p_0}\right) = -\frac{\rho_0gT_0}{p_0} \int_0^z \frac{\mathrm{d}z}{T(z)}

La segunda integral dependerá de T(z).

En el caso isotermo

T(z)=T_0\,   \Rightarrow   \ln\left(\frac{p}{p_0}\right) = -\frac{\rho_0g}{p_0} \int_0^z \mathrm{d}z = -\frac{\rho_0gz}{p_0}   \Rightarrow   p =p_0\mathrm{e}^{-\rho_0gz/p_0}

que es la solución que ya conocemos.

Si la temperatura disminuye linealmente con la altura

T(z)=T_0-kz\,   \Rightarrow   \ln\left(\frac{p}{p_0}\right) = -\frac{\rho_0gT_0}{p_0} \int_0^z \frac{\mathrm{d}z}{T_0-kz} = \frac{\rho_0gT_0}{p_0k}\ln\left(\frac{T_0-kz}{T_0}\right)

Hallando la exponencial de los dos miembros resulta finalmente

p=p_0\left(\frac{T(z)}{T_0}\right)^\beta     \beta = \frac{\rho_0T_0g}{p_0k}
Para este caso la densidad varía como
\rho=\rho_0\left(\frac{T_0}{T}\right)\left(\frac{p}{p_0}\right)=\rho_0\left(\frac{T(z)}{T_0}\right)^{\beta+1}

Comparando las gráficas de la presión en el modelo isotermo y en el modelo lineal, vemos que las diferencias son pequeñas. La razón es que, aunque la temperatura en grados centígrados cambia sustancialmente, el cambio relativo en la temperatura absoluta es mucho menor (de 293 K a 233 K, un 20% de disminución). La presión a 5.5 km en el modelo lineal es 0.479 atmósferas, lo que supone solamente un 4% de error cometido.

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