Hélice de avión en rotación

Enunciado

El avión (sólido “0”) de la figura rota alrededor del eje vertical OZ$_{1}$ de modo que el centro C de su hélice describe una circunferencia de radio $L$ en el sistema de referencia fijo OX$_{1}$Y$_{1}$Z$_{1}$ (sólido “1”). La velocidad angular de esta rotación es constante, su módulo es $|{\vec {\omega }}_{01}|=\Omega$ y su sentido el indicado en la figura. Además, la hélice (sólido “2”), cuyo radio es $R$, rota en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular también de módulo constante $|{\vec {\omega }}_{20}|=\omega$ y con el sentido indicado en la figura. Se pide

1. La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
2. Aplicando las leyes de composición de velocidades y aceleraciones, la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{P}$ y la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{P}$ del punto más alto de la hélice (punto P en la figura).
3. La reducción cinemática del movimiento {21} en P y la ecuación de su EIRMD ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido “1”?
4. Calcule numéricamente ${\vec {v}}_{21}^{P}$ y ${\vec {a}}_{21}^{P}$ para los valores $R=1\,\mathrm {m}$, $L=100\,\mathrm {m}$, $\omega =100\,\mathrm {rad} /\mathrm {s}$ y $\Omega =1\,\mathrm {rad} /\mathrm {s}$.

Nota: Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” para resolver el ejercicio.

Reducciones cinemáticas de {20} y {01}

Movimiento de arrastre {01}

El movimiento de arrastre es una rotación alrededor del eje permanente $OZ_{0}=OZ_{1}$. Si reducimos en un punto de este eje (por ejemplo, en O), tenemos una velocidad de deslizamiento nula y una velocidad angular constante

$\{{\vec {\omega }}_{01},{\vec {v}}_{01}^{O}\}=\{\Omega {\vec {k}}_{0},{\vec {0}}\}$

El EIR de este movimiento es el propio eje $OZ_{0}$.

Movimiento relativo {20}

El movimiento {20} es también una rotación pura alrededor de un eje fijo, que pasa por el centro de la hélice C. Reduciendo en este punto tenemos

$\{{\vec {\omega }}_{20},{\vec {v}}_{20}^{C}\}=\{\omega {\vec {\jmath }}_{0},{\vec {0}}\}$

El EIR de este movimiento es uno paralelo a $OY_{0}$ y que pasa por C.

Velocidad y aceleración de P

Velocidad absoluta de P

La velocidad absoluta de P es la suma de la relativa y la de arrastre

${\vec {v}}_{21}^{P}={\vec {v}}_{20}^{P}+{\vec {v}}_{01}^{P}={\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {CP}}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {AP}}$

Sustituyendo las velocidades angulares y los vectores de posición relativa queda

${\vec {v}}_{21}^{P}=(\omega {\vec {\jmath }}_{0})\times (R{\vec {k}}_{0})+(\Omega {\vec {k}}_{0})\times (L{\vec {\imath }}_{0}+R{\vec {k}}_{0})=\omega R{\vec {\imath }}_{0}+\Omega L{\vec {\jmath }}_{0}$

Aceleración absoluta de P

Usando la ley de composición de aceleraciones

${\vec {a}}_{21}^{P}={\vec {a}}_{20}^{P}+{\vec {a}}_{01}^{P}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{P}$

donde los diferentes términos tienen el valor siguiente:

Aceleración de arrastre {01}

Es la de una rotación con velocidad angular constante en torno a un eje permanente

${\vec {a}}_{01}^{P}=\overbrace {{\vec {a}}_{01}^{O}} ^{={\vec {0}}}+\overbrace {{\vec {\alpha }}_{01}} ^{={\vec {0}}}\times {\overrightarrow {OP}}+{\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OP}})=(\Omega {\vec {k}}_{0})\times \left((\Omega {\vec {k}}_{0})\times (L{\vec {\imath }}_{0}+R{\vec {k}}_{0})\right)=-L\Omega ^{2}{\vec {\imath }}_{0}$

Aceleración relativa {20}

Es la de otra rotación alrededor de un eje permanente con velocidad angular constante.

${\vec {a}}_{20}^{P}=\overbrace {{\vec {a}}_{20}^{C}} ^{={\vec {0}}}+\overbrace {{\vec {\alpha }}_{20}} ^{={\vec {0}}}\times {\overrightarrow {CP}}+{\vec {\omega }}_{20}\times ({\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {CP}})=(\omega {\vec {\jmath }}_{0})\times \left((\omega {\vec {\jmath }}_{0})\times (R{\vec {k}}_{0})\right)=-R\omega ^{2}{\vec {k}}_{0}$

Término de Coriolis

Por último tenemos la contribución:

$2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{P}=2(\Omega {\vec {k}}_{0})\times \left((\omega {\vec {\jmath }}_{0})\times (R{\vec {k}}_{0})\right)=2R\Omega \omega {\vec {\jmath }}_{0}$

Sumando las tres contribuciones hallamos la aceleración absoluta

${\vec {a}}_{21}^{P}=-L\Omega ^{2}{\vec {\imath }}_{0}+2R\Omega \omega {\vec {\jmath }}_{0}-R\omega ^{2}{\vec {k}}_{0}$

Reducción cinemática de {21}

El movimiento absoluto {21}, composición de dos rotaciones puras, no es una rotación pura.

La velocidad angular del movimiento absoluta es la suma de la del relativo más la del de arrastre

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}=\omega {\vec {\jmath }}_{0}+\Omega {\vec {k}}_{0}$

La reducción cinemática del movimiento {21} en el punto P es

$\{{\vec {\omega }}_{21},{\vec {v}}_{21}^{P}\}=\{\omega {\vec {\jmath }}_{0}+\Omega {\vec {k}}_{0},\,\,\omega R{\vec {\imath }}_{0}+\Omega L{\vec {\jmath }}_{0}\}$

Calculamos la velocidad de deslizamiento proyectando la velocidad de un punto cualquiera sobre la velocidad angular. Puesto que ya conocemos la velocidad de P, podemos emplear este punto

$v_{d}={\frac {{\vec {v}}_{21}^{P}\cdot {\vec {\omega }}_{21}}{|{\vec {\omega }}_{21}|}}={\frac {(\omega R{\vec {\imath }}_{0}+\Omega L{\vec {\jmath }}_{0})\cdot (\omega {\vec {\jmath }}_{0}+\Omega {\vec {k}}_{0})}{\sqrt {\omega ^{2}+\Omega ^{2}}}}={\frac {L\omega \Omega }{\sqrt {\omega ^{2}+\Omega ^{2}}}}$

Tanto el primer invariante (velocidad angular) como el segundo invariante (velocidad de deslizamiento) del movimiento {21} son no nulos. Por tanto, se trata de un movimiento helicoidal instantáneo.

Para hallar la posición del EIRMD empleamos la fórmula general

${\overrightarrow {PI}}={\frac {{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{21}^{P}}{\omega _{21}^{2}}}+\lambda {\vec {\omega }}_{21}$

Sustituyendo las diferentes cantidades

${\overrightarrow {PI}}={\frac {(\omega {\vec {\jmath }}_{0}+\Omega {\vec {k}}_{0})\times (\omega R{\vec {\imath }}_{0}+\Omega L{\vec {\jmath }}_{0})}{\omega ^{2}+\Omega ^{2}}}+\lambda (\omega {\vec {\jmath }}_{0}+\Omega {\vec {k}}_{0})={\frac {-L\Omega ^{2}{\vec {\imath }}_{0}+R\omega \Omega {\vec {\jmath }}_{0}-R\omega ^{2}{\vec {k}}_{0}}{\omega ^{2}+\Omega ^{2}}}+\lambda (\omega {\vec {\jmath }}_{0}+\Omega {\vec {k}}_{0})$

Respecto al punto O, los puntos del eje se encuentran en

${\overrightarrow {OI}}={\overrightarrow {OP}}+{\overrightarrow {PI}}={\frac {L\omega ^{2}{\vec {\imath }}_{0}+R\omega \Omega {\vec {\jmath }}_{0}+R\Omega ^{2}{\vec {k}}_{0}}{\omega ^{2}+\Omega ^{2}}}+\lambda (\omega {\vec {\jmath }}_{0}+\Omega {\vec {k}}_{0})$

Podemos simplificar esta ecuación escribiéndola como

${\overrightarrow {OI}}={\frac {L\omega ^{2}}{\omega ^{2}+\Omega ^{2}}}{\vec {\imath }}_{0}+\omega \left({\frac {R\Omega }{\omega ^{2}+\Omega ^{2}}}+\lambda \right){\vec {\jmath }}_{0}+\Omega \left({\frac {R\Omega }{\omega ^{2}+\Omega ^{2}}}+\lambda \right){\vec {k}}_{0}$

Haciendo

$\mu =\lambda +{\frac {R\Omega }{\omega ^{2}+\Omega ^{2}}}\qquad \Rightarrow \qquad {\overrightarrow {OI}}={\frac {L\omega ^{2}}{\omega ^{2}+\Omega ^{2}}}{\vec {\imath }}_{0}+\mu (\omega {\vec {\jmath }}_{0}+\Omega {\vec {k}}_{0})$

que nos dice que el EIRMD pasa por un punto del eje $OX_{0}$ y corta a este eje perpendicularmente según una dirección contenida en un plano paralelo a $OY_{0}Z_{0}$.

La reducción cinemática para los puntos del EIRMD (reducción cinemática canónica) es

$\{{\vec {\omega }}_{21},{\vec {v}}_{21}^{I}\}=\left\{\omega {\vec {\jmath }}_{0}+\Omega {\vec {k}}_{0},{\frac {L\omega \Omega (\omega {\vec {\jmath }}_{0}+\Omega {\vec {k}}_{0})}{\omega ^{2}+\Omega ^{2}}}\right\}$

Valores numéricos

Sustituyendo los valores del enunciado obtenemos la velocidad

${\vec {v}}_{21}^{P}=\omega R{\vec {\imath }}_{0}+\Omega L{\vec {\jmath }}_{0}=(100{\vec {\imath }}_{0}+100{\vec {\jmath }}_{0}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

con módulo

$v_{21}^{P}=141\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

La aceleración en este mismo instante vale

${\vec {a}}_{21}^{P}=-L\Omega ^{2}{\vec {\imath }}_{0}+2R\Omega \omega {\vec {\jmath }}_{0}-R\omega ^{2}{\vec {k}}_{0}=(-100{\vec {\imath }}_{0}+200{\vec {\jmath }}_{0}-10000{\vec {k}}_{0}){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

siendo su módulo

$a_{21}^{P}=10002{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\simeq 10^{4}{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Vemos que mientras que para la velocidad, la contribución del movimiento de rotación de la hélice y del avión contribuyen en igual medida, para la aceleración la principal contribución, con diferencia, proviene de la rotación de la hélice alrededor de su eje.