Movimiento bajo fuerza central en polares

Enunciado

Sea una partícula $P$ de masa $m$ cuyo movimiento en el plano OXY se describe mediante coordenadas polares.

1. Deduzca la expresión de su velocidad areolar respecto al origen de coordenadas $O$, y compruebe que la misma es constante en el tiempo si el movimiento transcurre bajo la acción de una fuerza central en $O$.
2. Sabiendo que la partícula recorre la espiral $\rho =\rho _{0}e^{\theta }\,$ sometida a una fuerza central en $O$ y con condiciones iniciales $\theta (0)=0\,$ y ${\dot {\theta }}(0)=\omega _{0}$, determine las ecuaciones horarias $\rho =\rho (t)\,$ y $\theta =\theta (t)\,$.

Expresión general de la velocidad areolar

Sustituyendo las expresiones generales (en coordenadas polares) de los vectores de posición y velocidad de una partícula

${\begin{array}{rcl}{\vec {r}}&=&\rho \,{\vec {u}}_{\rho }\\{\vec {v}}&=&{\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}$

en la definición de la velocidad areolar de la partícula respecto al origen de coordenadas $O\,$, se obtiene

${\vec {V}}_{A}={\frac {1}{2}}\,{\vec {r}}\times {\vec {v}}={\frac {1}{2}}\,\rho \,{\vec {u}}_{\rho }\times ({\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta })={\frac {1}{2}}\,\rho ^{2}{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}$

Conservación de la velocidad areolar

Teniendo en cuenta que la dirección del vector velocidad areolar es constante (dirección perpendicular al plano del movimiento), es evidente que la citada magnitud vectorial se conservará constante en el tiempo si y sólo si es constante la velocidad areolar escalar $V_{A}$

${\vec {V}}_{A}=V_{A}\,{\vec {k}}={\frac {1}{2}}\,\rho ^{2}{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}={\overrightarrow {\mathrm {cte} }}\,\,\,\,\,\,\Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\,V_{A}={\frac {1}{2}}\,\rho ^{2}{\dot {\theta }}=\mathrm {cte}$

Ahora bien, derivando respecto al tiempo $V_{\!A}$ se obtiene

${\frac {\mathrm {d} V_{A}}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}\,{\frac {\mathrm {d} (\rho ^{2}{\dot {\theta }})}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}\,(2\rho {\dot {\rho }}\,{\dot {\theta }}+\rho ^{2}{\ddot {\theta }})={\frac {\rho }{2}}\,(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\theta }}+\rho \,{\ddot {\theta }})={\frac {\rho }{2}}\,a_{\theta }$

Comprobamos, por tanto, que la conservación de la velocidad areolar como una magnitud constante a lo largo del tiempo se produce si y sólo si la componente acimutal de la aceleración es permanentemente nula, lo cual conlleva de forma obvia la centralidad de la fuerza respecto al origen de coordenadas:

$V_{A}=\mathrm {cte} \,\,\,\,\,\,\Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\frac {\mathrm {d} V_{A}}{\mathrm {d} t}}=0\,\,\,\,\,\,\Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\,a_{\theta }=0\,\,\,\,\,\,\Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\vec {F}}=m{\vec {a}}=ma_{\rho }\,{\vec {u}}_{\rho }=F_{\rho }\,{\vec {u}}_{\rho }$

Obsérvese que la conservación de la velocidad areolar está intímamente ligada a la conservación del momento cinético (respecto al mismo punto $O\,$), ya que

${\vec {L}}_{O}={\vec {r}}\times m{\vec {v}}=2m{\vec {V}}_{A}$

siendo la propiedad de paralelismo ${\vec {F}}\parallel {\vec {r}}$, propia de las fuerzas centrales en $O\,$, la que provoca que tanto el momento cinético como la velocidad areolar respecto a $O\,$ sean constantes.

Ecuaciones horarias

Como nos dicen que la partícula recorre la espiral bajo la acción de una fuerza central en $O\,$, tenemos garantizado que la velocidad areolar escalar es una constante, pudiéndose evaluar el valor de dicha constante a partir de las condiciones iniciales dadas

$\left.{\begin{array}{l}{\dot {\theta }}(0)=\omega _{0}\\\rho (0)=\rho _{0}\,e^{\theta (0)}=\rho _{0}\,e^{0}=\rho _{0}\end{array}}\right|\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,V_{A}={\frac {1}{2}}\,\rho ^{2}{\dot {\theta }}=\mathrm {cte} ={\frac {1}{2}}\,[\rho (0)]^{2}{\dot {\theta }}(0)={\frac {1}{2}}\,\rho _{0}^{2}\omega _{0}$

Prescindiendo del factor $1/2$ en ambos miembros de la ecuación anterior, expresando $\rho \,$ como función de $\theta \,$ (ecuación de la trayectoria), separando las variables $\theta \,$ y $t$, y finalmente integrando entre el instante inicial y un instante genérico, se obtiene:

$\rho ^{2}{\dot {\theta }}=\rho _{0}^{2}\omega _{0}\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\rho _{0}^{2}e^{2\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=\rho _{0}^{2}\omega _{0}\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,e^{2\theta }\mathrm {d} \theta =\omega _{0}\mathrm {d} t\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\int _{0}^{\theta }e^{2\theta }\mathrm {d} \theta =\omega _{0}\int _{0}^{t}\mathrm {d} t\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,{\frac {e^{2\theta }-1}{2}}=\omega _{0}t$

de donde, despejando $\theta \,$, se llega a la ecuación horaria acimutal:

$\theta (t)={\frac {1}{2}}\,\mathrm {ln} (1+2\omega _{0}t)$

y, sustituyendo ésta en la ecuación de la espiral (trayectoria), se obtiene la ecuación horaria radial:

$\rho (t)=\rho _{0}e^{\mathrm {ln} ({\sqrt {1+2\omega _{0}t}}\,)}=\rho _{0}{\sqrt {1+2\omega _{0}t}}$