Teoremas del seno y del coseno

Enunciado

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,cos(\gamma)}

y del seno

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}}

en un triángulo de lados $a$, $b$ y $c$, y ángulos opuestos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$.

Teorema del coseno

Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados, se verifica la ecuación vectorial

${\vec {a}}={\vec {b}}+{\vec {c}}$

o, equivalentemente

${\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {c}}$

Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{c}\cdot\vec{c}=c^2}

Desarrollando el producto escalar

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{a}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=c^2}

El ángulo que forman los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{b}} es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma} por lo que finalmente obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a^2 -2ab\,\cos\gamma + b^2 = c^2}

que es el teorema del coseno.

Expresiones análogas pueden obtenerse para los otros dos ángulos.

Teorema del seno

El área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo y por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \frac{1}{2}\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \frac{1}{2}\left|\vec{b}\times\vec{c}\right| = \frac{1}{2}\left|\vec{a}\times\vec{c}\right|}

Desarrollando los módulos de los productos vectoriales

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \frac{ab\,\mathrm{sen}\,\gamma}{2}=\frac{bc\,\mathrm{sen}\,\alpha}{2}=\frac{ac\,\mathrm{sen}\,\beta}{2}}

Dividiendo por el producto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle abc} y multiplicando por 2 nos queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}=\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}}

que es el teorema del seno.