Aparcamiento de un vehículo (MRGIC)

Enunciado

La maniobra de aparcamiento de un vehículo se puede modelar (despreciando la energía cinética de las ruedas) mediante una placa rectangular homogénea $ABCD$ de masa $m$ y dimensiones $a\times b$ (sólido "2"), que se mueve en el plano horizontal fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}$ (sólido "1"). Dicho movimiento consiste en que mientras el vértice $A$ se desplaza sobre el eje fijo $O_{1}X_{1}$, el vértice contiguo $B$ persigue a $A$ de modo que la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{B}$ es colineal en todo instante con el lado $AB$. Además, la acción del motor se modela con una única fureza activa conocida ${\vec {F}}=F(t)\,{\vec {\imath }}_{2}$, aplicada en el centro de masas $G$ de la placa.

1. Demuestra que los parámetros geométricos $x$ y $\theta$ verifican en todo instante la relación ${\dot {x}}\operatorname {sen} \theta +a{\dot {\theta }}=0$.
2. Encuentra la expresión de la energía cinética $T$.
3. Verifica que el vínculo del primer apartado es integrable y, trabajando con una sola coordenada generalizada, obtén las ecuaciones de movimiento del sistema mecánico descrito.

Solución

Cinemática y vínculo

La velocidad de rotación de la placa y la velocidad de su punto $A$ son

${\vec {\omega }}_{21}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}_{21}^{\,A}={\dot {x}}\,{\vec {\imath }}_{1}.$

Aparecen dos coordenadas en la reducción cinemática, $\{x,\theta \}$. Sin embargo, aún no hemos aplicado la ligadura que obliga al punto $B$ a moverse de modo que su velocidad apunte siempre hacia el punto $A$. Tenemos

${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AB}}.$

El vector geométrico es

${\overrightarrow {AB}}=-a\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+a\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Por tanto

${\vec {v}}_{21}^{\,B}=({\dot {x}}+a{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+a{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}$

Imponemos ahora que ${\vec {v}}_{21}^{\,B}$ y ${\overrightarrow {AB}}$. Deben ser paralelos. Una forma es hacer su producto vectorial e igualarlo a cero. Otra forma, equivalente, es imponer que sus componentes sean proporcionales. Es decir

${\dfrac {{\dot {x}}+a{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta }{-a\cos \theta }}={\dfrac {a{\dot {\theta }}\cos \theta }{a\,\mathrm {sen} \,\theta }}\Longrightarrow {\dot {x}}\,\mathrm {sen} \,\theta +a{\dot {\theta }}=0.$

Este vínculo es cinemático e integrable, esto es, es holónomo. Podemos integrarlo como sigue

${\dot {x}}=-a{\dfrac {\dot {\theta }}{\mathrm {sen} \,\theta }}\Longrightarrow \mathrm {d} x=-a{\dfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {sen} \,\theta }}\Longrightarrow \int \mathrm {d} x=-\int a{\dfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {sen} \,\theta }}\Longrightarrow x=-a\log(\tan \theta )+C,$

donde $C$ es una constante de integración que debe ser calculada a partir de una condición inicial.

Así pues, el sistema tiene sólo un grado de libertad. Usaremos la coordenada $\{\theta \}$ para trabajar.

Energía cinética

Calculamos la energía cinética usando el centro de masas, y usando que es un movimiento plano

$T={\dfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{21}^{\,G}|^{2}+{\dfrac {1}{2}}I|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}.$

Calculamos la velocidad en el centro de masas usando el Teorema de Chasles. En este caso es mas sencillo trabajar con la base del sólido "2".

${\vec {v}}_{21}^{\,G}={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AG}}=\left({\dot {x}}\cos \theta +{\dfrac {1}{2}}b{\dot {\theta }}\right)\,{\vec {\imath }}_{2}+\left({\dot {x}}\,\mathrm {sen} \,\theta +{\dfrac {1}{2}}a{\dot {\theta }}\right)\,{\vec {\jmath }}_{2}.$

Aquí hemos usado que

${\overrightarrow {AG}}=-{\dfrac {1}{2}}a\,{\vec {\imath }}_{2}+{\dfrac {1}{2}}b\,{\vec {\jmath }}_{2},$

y que

${\vec {\imath }}_{1}=\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{2}+\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{2}$

para convertir la velocidad en $A$ a la base 2.

El momento de inercia de una placa rectangular respecto a un eje perpendicular a ella que pase por su centro de masas es

$I={\dfrac {1}{12}}m\,(a^{2}+b^{2}).$

Entnoces, la energía cinética es, expresada en función de la coordenada $\theta$,

$T={\dfrac {1}{6}}m{\dot {\theta }}^{2}\left(4a^{2}+b^{2}-3ab{\dfrac {\cos \theta }{\mathrm {sen} \,\theta }}+{\dfrac {3a^{2}}{\mathrm {sen} ^{2}\theta }}\right).$

Ecuaciones de movimiento

El centro de masas de la placa está siempre a la misma altura. Entonces, la energía potencial gravitatoria es constante y no tiene influencia en el problema. Podemos elegir que su valor sea nulo. La función de Lagrange es

$L=T-U={\dfrac {1}{6}}m{\dot {\theta }}^{2}\left(4a^{2}+b^{2}-3ab{\dfrac {\cos \theta }{\mathrm {sen} \,\theta }}+{\dfrac {3a^{2}}{\mathrm {sen} ^{2}\theta }}\right).$

Hay una fuerza no conservativa actuando en el centro de masas

${\vec {F}}=F\,{\vec {\imath }}_{2}.$

Entonces, la ecuación de Lagrange es

${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial \theta }}=Q_{\theta }^{NC}.$

La fuerza generalizada no conservativa es

$Q_{\theta }^{NC}={\vec {F}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,G}}{\partial {\dot {\theta }}}}$

Hay que expresar la velocidad del centro de masas en términos del grado de libertad. Usando el vínculo cinemático que hemos encontrado antes tenemos

${\vec {v}}_{21}^{\,G}=\left({\dfrac {1}{2}}b-a\cot \theta \right){\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{2}-{\dfrac {1}{2}}a{\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}_{2}.$

La fuerza generalizada no conservativa es

$Q_{\theta }^{NC}=F\,\left({\dfrac {1}{2}}b-a\cot \theta \right).$

Finalmente, la ecuación diferencial de movimiento es

$\left(4a^{2}+b^{2}-3ab\cot \theta +{\dfrac {3a^{2}}{\mathrm {sen} ^{2}\theta }}\right)\,{\ddot {\theta }}+{\dfrac {3}{2}}\,\left(ab-2a^{2}\cot \theta \right){\dfrac {{\dot {\theta }}^{2}}{\mathrm {sen} ^{2}\theta }}={\dfrac {3F}{2m}}\,(b-2a\cot \theta ).$