Aparcamiento de un vehículo (MRGIC)

Enunciado

La maniobra de aparcamiento de un vehículo se puede modelar (despreciando la energía cinética de las ruedas) mediante una placa rectangular homogénea $ABCD$ de masa $m$ y dimensiones $a\times b$ (sólido "2"), que se mueve en el plano horizontal fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}$ (sólido "1"). Dicho movimiento consiste en que mientras el vértice $A$ se desplaza sobre el eje fijo $O_{1}X_{1}$, el vértice contiguo $B$ persigue a $A$ de modo que la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{B}$ es colineal en todo instante con el lado $AB$. Además, la acción del motor se modela con una única fureza activa conocida ${\vec {F}}=F(t)\,{\vec {\imath }}_{2}$, aplicada en el centro de masas $G$ de la placa.

1. Demuestra que los parámetros geométricos $x$ y $\theta$ verifican en todo instante la relación ${\dot {x}}\operatorname {sen} \theta +a{\dot {\theta }}=0$.
2. Encuentra la expresión de la energía cinética $T$.
3. Verifica que el vínculo del primer apartado es integrable y, trabajando con una sola coordenada generalizada, obtén las ecuaciones de movimiento del sistema mecánico descrito.

Solución

Cinemática y vínculo

La velocidad de rotación de la placa y la velocidad de su punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1. }

Aparecen dos coordenadas en la reducción cinemática, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{x, \theta\} } . Sin embargo, aún no hemos aplicado la ligadura que obliga al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B } a moverse de modo que su velocidad apunte siempre hacia el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } . Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}. }

El vector geométrico es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB} = -a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1. }

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{21} = (\dot{x} + a\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 + a\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1 }

Imponemos ahora que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{21} } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB} } . Deben ser paralelos. Una forma es hacer su producto vectorial e igualarlo a cero. Otra forma, equivalente, es imponer que sus componentes sean proporcionales. Es decir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\dot{x} + a\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta}{-a\cos\theta} = \dfrac{a\dot{\theta}\cos\theta}{a\,\mathrm{sen}\,\theta} \Longrightarrow \dot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta + a\dot{\theta} = 0. }

Este vínculo es cinemático e integrable, esto es, es holónomo. Podemos integrarlo como sigue

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x} = -a\dfrac{\dot{\theta}}{\mathrm{sen}\,\theta} \Longrightarrow \mathrm{d}x = -a\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{sen}\,\theta} \Longrightarrow \int\mathrm{d}x = -\int a\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{sen}\,\theta} \Longrightarrow x = -a\log(\tan\theta) + C, }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C } es una constante de integración que debe ser calculada a partir de una condición inicial.

Así pues, el sistema tiene sólo un grado de libertad. Usaremos la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\theta\} } para trabajar.

Energía cinética

Calculamos la energía cinética usando el centro de masas, y usando que es un movimiento plano

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I|\vec{\omega}_{21}|^2. }

Calculamos la velocidad en el centro de masas usando el Teorema de Chasles. En este caso es mas sencillo trabajar con la base del sólido "2".

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG} = \left(\dot{x}\cos\theta + \dfrac{1}{2}b\dot{\theta}\right)\,\vec{\imath}_2 + \left(\dot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta + \dfrac{1}{2}a\dot{\theta}\right)\,\vec{\jmath}_2. }

Aquí hemos usado que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AG} = -\dfrac{1}{2}a\,\vec{\imath}_2 + \dfrac{1}{2}b\,\vec{\jmath}_2, }

y que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}_1 = \cos\theta\,\vec{\imath}_2 + \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_2 }

para convertir la velocidad en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } a la base 2.

El momento de inercia de una placa rectangular respecto a un eje perpendicular a ella que pase por su centro de masas es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I = \dfrac{1}{12}m\,(a^2 + b^2). }

Entnoces, la energía cinética es, expresada en función de la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta } ,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{1}{6}m\dot{\theta}^2\left(4a^2 + b^2 - 3ab\dfrac{\cos\theta}{\mathrm{sen}\,\theta} + \dfrac{3a^2}{\mathrm{sen}^2\theta}\right). }

Ecuaciones de movimiento

El centro de masas de la placa está siempre a la misma altura. Entonces, la energía potencial gravitatoria es constante y no tiene influencia en el problema. Podemos elegir que su valor sea nulo. La función de Lagrange es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = T - U = \dfrac{1}{6}m\dot{\theta}^2\left(4a^2 + b^2 - 3ab\dfrac{\cos\theta}{\mathrm{sen}\,\theta} + \dfrac{3a^2}{\mathrm{sen}^2\theta}\right). }

Hay una fuerza no conservativa actuando en el centro de masas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F} = F\,\vec{\imath}_2. }

Entonces, la ecuación de Lagrange es

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La fuerza generalizada no conservativa es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q^{NC}_{\theta} = \vec{F}\cdot\dfrac{\partial\vec{v}^{\,G}_{21}}{\partial\dot{\theta}} }

Hay que expresar la velocidad del centro de masas en términos del grado de libertad. Usando el vínculo cinemático que hemos encontrado antes tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,G}_{21} = \left(\dfrac{1}{2}b - a\cot\theta\right)\dot{\theta}\,\vec{\imath}_2 - \dfrac{1}{2}a\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_2. }

La fuerza generalizada no conservativa es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q^{NC}_{\theta} = F\,\left(\dfrac{1}{2}b - a\cot\theta\right). }

Finalmente, la ecuación diferencial de movimiento es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(4a^2 + b^2 - 3ab\cot\theta + \dfrac{3a^2}{\mathrm{sen}^2\theta}\right)\,\ddot{\theta} + \dfrac{3}{2}\,\left(ab - 2a^2\cot\theta\right)\dfrac{\dot{\theta}^2}{\mathrm{sen}^2\theta} = \dfrac{3F}{2m}\,(b - 2a\cot\theta). }