Masa y centro de masas (CMR)

Masa de un sistema de partículas

La masa total del sistema es la suma de las masas de los partículas que lo componen

$M=m_{1}+m_{2}+\cdots =\sum _{i}m_{i}$

Si el sistema se compone de varias partes, la masa será la suma de las de las partes que lo componen

$M=\sum _{k}M_{k}\qquad \qquad M_{k}=\sum _{m_{i}\in M_{k}}m_{i}$

Densidad de masa

Volumétrica

Cuando tenemos un sistema de muchos millones de partículas (como en un sólido, o un fluido), no es práctico hacer el sumatorio de las masas individuales. En su lugar se divide el sistema en elementos de volumen, $\Delta {}V$, que son regiones del espacio lo suficientemente pequeñas para tratarlas como diferenciales, pero lo suficientemente grandes como para que contengan miles de partículas. El sistema se considera entonces como continuo, esto es, en lugar de describirse como formado por partículas separadas, se considera constituido por elementos de volumen adyacentes.

Se define entonces la densidad de masa, $\rho ({\vec {r}})$, de un elemento de volumen, como la masa de las partículas que lo forman, dividida por el volumen del elemento

$\rho ={\frac {1}{\Delta {}V}}\sum _{m_{i}\in \Delta {}V}m_{i}$

Dicho de otra forma, la masa de un elemento de volumen es el producto de la densidad de masa por el volumen del elemento

$\Delta m=\sum _{m_{i}\in \Delta {}V}m_{i}=\rho \,\Delta {}V$

La masa total del sistema será la suma de la masa de todos sus elementos

$M=\sum _{\forall \ \Delta m}\Delta m=\sum _{\forall \ \Delta {}V}\rho \,\mathrm {\Delta {}V}$

Una suma de muchas cantidades muy pequeñas no es otra cosa que una integral

$\mathrm {d} M=\rho \,\mathrm {d} V\qquad \Rightarrow \qquad M=\int _{M}\mathrm {d} M=\int _{V}\rho \,\mathrm {d} {}V$

Aquí la densidad es una función de la posición porque en un sistema no homogéneo (por ejemplo, el cuerpo humano) la densidad varía de un punto a otro.

Un material homogéneo es aquel en que sus propiedades son iguales en todos sus puntos. Para este tipo de materiales

$\rho \neq \rho ({\vec {r}})\qquad \Rightarrow \qquad \rho ={\frac {M}{V}}\qquad \qquad M=\rho \,V$

A menudo, un sistema compuesto está formado por varias partes cada una de las cuales es homogénea. En ese caso

$M=\sum _{k}\rho _{k}V_{k}\,$

En ese caso podemos definir una densidad media como

$\rho _{m}={\frac {M}{V}}={\dfrac {\sum _{k}\rho _{k}V_{k}}{\sum _{k}V_{k}}}$

Superficial

Aunque en principio todas las masas ocupan un volumen en el espacio hay ocasiones (una chapa metálica, una hoja de papel,…) en las que se concentran en una superficie de pequeño espesor. En ese caso, se define la densidad superficial de masas

$\sigma ={\frac {1}{\Delta S}}\sum _{m_{i}\in \Delta S}m_{i}$

Esta densidad de masa se mide en kg/m² en el SI.

La densidad superficial de masa, como la volumétrica, es una función de la posición, por lo que la masa total será la suma de las de todos los trozos en que se divide la superficie

$\mathrm {d} M=\sigma \,\mathrm {d} S\qquad \Rightarrow \qquad M=\int _{M}\mathrm {d} M=\int _{S}\sigma \,\mathrm {d} S$

En una superficie de un material homogéneo (y que además tenga el mismo espesor en todos sus puntos)

$\sigma \neq \sigma ({\vec {r}})\qquad \Rightarrow \qquad \sigma ={\frac {M}{S}}\qquad \qquad M=\sigma \,S$

Lineal

De la misma manera, para hilos y cables, es útil definir la densidad lineal de masa, que se mide en kg/m,

$\mu ={\frac {1}{\Delta l}}\sum _{m_{i}\in \Delta l}m_{i}$

de manera que la masa total de un hilo es

$\mathrm {d} M=\mu \,\mathrm {d} l\qquad \Rightarrow \qquad M=\int _{M}\mathrm {d} M=\int _{L}\mu \,\mathrm {d} l$

Para un hilo homogéneo

$\mu \neq \mu ({\vec {r}})\qquad \Rightarrow \qquad \mu ={\frac {M}{L}}\qquad \qquad M=\mu \,L$

Centro de masas (CM)

Definición

El centro de masas (CM) de un sistema de partículas es una media ponderada, según la masa individual, de las posiciones de todas las partículas que lo componen

${\vec {r}}_{G}={\frac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}+\cdots }{M}}={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}$

o, usando la notación de posiciones relativas

${\overrightarrow {OG}}={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}{\overrightarrow {OP}}_{i}$

Equivalentemente se cumple

$M{\vec {r}}_{G}=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}$

En el caso de un sistema continuo, habrá que sumar para todos los elementos que lo componen

${\vec {r}}_{G}={\frac {1}{M}}\int _{M}{\vec {r}}\,\mathrm {d} m={\frac {1}{M}}\int _{V}{\vec {r}}\,\rho \,\mathrm {d} {}V$

El centro de masas siempre ocupará una posición intermedia entre las posiciones de las diferentes partículas del sistema. Así, en un triángulo formado por masas iguales, el centro de masas es el llamado baricentro,que se encuentra siempre en el interior.

No obstante, hay que destacar que el centro de masas de un sistema de partículas no tiene por qué coincidir con ninguna de las partículas que lo componen.

De hecho, en el caso de un sistema sólido, es perfectamente posible que el centro de masas esté fuera del sólido. Por ejemplo, en un salto de altura estilo Fosbury, el atleta pasa por encima del listón, pero su centro de masas pasa por debajo de él (consiguiendo el deportista arrancar así unos cuantos centímetros más en el salto).

Caso de solo dos partículas

Si tenemos solo dos partículas el centro de masas se hallará en una posición intermedia entre ellas.

${\overrightarrow {OG}}={\frac {m_{A}{\overrightarrow {OA}}+m_{B}{\overrightarrow {OB}}}{m_{A}+m_{B}}}\qquad \Rightarrow \qquad {\overrightarrow {AG}}={\overrightarrow {OG}}-{\overrightarrow {OA}}={\frac {m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}{\overrightarrow {AB}}$

El CM de las dos masas estará más cerca de la masa más grande. Si las dos masas son iguales se hallará en el punto medio entre ellas.

Sistema compuesto

Si tenemos un sistema formado por varias partes separadas, cada una de ellas tendrá su propio centro de masas

${\overrightarrow {OG}}_{k}={\frac {1}{M_{k}}}\sum _{m_{i}\in M_{k}}m_{i}{\overrightarrow {OP}}_{i}$

El centro de masas del sistema completo equivale a considerar cada parte como una sola partícula ya que

${\overrightarrow {OG}}={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}{\overrightarrow {OP}}_{i}={\frac {1}{\sum _{k}M_{k}}}\sum _{k}\left(\sum _{m_{i}\in M_{k}}m_{i}{\overrightarrow {OP}}_{i}\right)={\frac {\sum _{k}M_{k}{\overrightarrow {OG}}_{k}}{\sum _{k}M_{k}}}$

El centro de masas de una L

Así, por ejemplo, en un sistema de dos barras iguales soldadas formando una L, el CM del conjunto se halla en el punto medio de la línea que une los respectivos centros de masa.

 

El CM del sistema Tierra-Luna

En el sistema Tierra-Luna la proporción entre las masas es 0.0123 y por tanto la posición del CM en el sistema Tierra-Luna se halla en

${\overrightarrow {TG}}={\frac {0.0123}{1.0123}}{\overrightarrow {TL}}=0.0122{\overrightarrow {TL}}$

siendo su distancia al centro de la Tierra

$\left|{\overrightarrow {TG}}\right|=0.0122\times 384000\mathrm {km} =4670\,\mathrm {km}$ Puesto que el radio de la Tierra es de 6370km, el CM se encuentra en el interior de la Tierra, pero no en su centro. Este detalle es relevante porque no es estrictamente cierto que la Luna de vueltas en torno a la Tierra, sino que lo que ocurre es que ambos astros orbitan en torno al CM común.

Sistema simétrico

Cuando tenemos un sistema que tiene un plano de simetría, el CM del sistema se halla en dicho plano, ya que las coordenadas perpendiculares a dicho plano se cancelan entre partículas simétricas.

Si tiene dos planos de simetría, el CM se hallará en la recta intersección de dichos planos.

Si teien tres planos de simetría que se cortan en un solo punto (caso de una esfera, o de un prisma rectangular, por ejemplo), dicho punto es el CM.

Sistema de referencia del centro de masas

El sistema de referencia ligado al CM, que tiene su origen en este punto y que se traslada con él se denomina sistema centro de masas. Las posiciones de las partículas en este sistema son las relativas al CM

${{\vec {r}}_{i}}^{\,\prime }={\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{G}\qquad \qquad {\overrightarrow {GP}}_{i}={\overrightarrow {OP}}_{i}-{\overrightarrow {OG}}$

Dado que la posición del centro de masas respecto a sí mismo es evidentemente nula, se cumple

${\vec {0}}={\vec {r}}_{G}^{\,\prime }\qquad \Rightarrow \qquad \sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}^{\,\prime }=m_{1}{\vec {r}}_{1}^{\,\prime }+m_{2}{\vec {r}}_{2}^{\,\prime }+\cdots ={\vec {0}}\qquad \qquad \sum _{i}m_{i}{\overrightarrow {GP}}_{i}={\vec {0}}$