Energía en la carga de un conductor

Energía en la carga de un condensador

Un determinado sistema está formado exclusivamente por un conductor de capacidad C. Inicialmente este conductor almacena una carga $Q_{A}$. Una fuente de tensión continua $V_{B}$ se conecta al conductor mediante un interruptor que se cierra bruscamente.

1. ¿Cuánto cambia la carga almacenada en el conductor?
2. ¿Cuánto cambia la energía electrostática del sistema?
3. ¿Qué trabajo realiza la fuente en este proceso? ¿Cuánta energía se disipa?

Carga almacenada

Inicialmente tenemos una craga almacenada $Q_{A}$. Tras la conexión de la fuente, el voltaje del conductor pasa a ser $V_{B}$ y la carga del condensador que forma con el infinito este

$Q_{B}=C(V_{B}-0)=CV_{B}$

con lo que la variación de la carga almacenada es

$\Delta Q=Q_{B}-Q_{A}=CV_{B}-Q_{A}\,$

Energía almacenada

Antes de la consexión la energía es

$U_{mathrm{e}A}={\frac {Q_{A}^{2}}{2C}}$

y tras la conexión

$U_{mathrm{e}B}={\frac {CV_{B}^{2}}{2}}$

siendo la diferencia

$\Delta U_{\mathrm {e} }={\frac {CV_{B}^{2}}{2}}-{\frac {Q_{A}^{2}}{2C}}={\frac {(CV_{B})^{2}-Q_{A}^{2}}{2}}$

Vemos que esta energía no cambia cuando $V_{B}=Q_{A}/C$, es decir, cuando el conductor ya estaba a potencial $V_{B}$. También se anula si $CV_{B}=-Q_{A}$, es decir, cuando la carga cambia de signo.

Trabajo realizado por el generador

Una fuente de tensión de corriente continua fija en todo momento la misma diferencia de potencial. En este caso $V_{B}$. Para ello, pone o quita carga en el conductor al que está conectada. El trabajo que realiza es igual al producto de la carga que pasa por él, multiplicada por la diferencia de potencial que suministra

$W_{\mathrm {gen} }=V_{B}\,\Delta Q=V_{B}(CV_{B}-Q_{A})=CV_{B}^{2}-Q_{A}V_{B}$

Vemos que el trabajo se anula cuando el potencial inicial ya es $V_{B}$ (porque entonces no hace nada, ni pone ni quita carga) y también cuando $V_{B}=0$, ya que en ese caso no hay generador, solo una conexión a tierra.

Energía disipada

El trabajo que realiza el generador (que es de entrada en el sistema) no coincide con la variación en la energía eléctrica almacenada. La razón es que hay disipación de energía, bien en forma de aumento de la temperatura (incremento en la energía interna), bien en la producción de calor. Identificando ambos efectos como calor tenemos que

$W_{\mathrm {in} }=\Delta U_{\mathrm {e} }+Q_{\mathrm {out} }$

lo que nos da

$Q_{\mathrm {out} }=W_{\mathrm {gen} }-\Delta U_{\mathrm {e} }=CV_{B}^{2}-Q_{A}V_{B}-{\frac {CV_{B}^{2}}{2}}+{\frac {Q_{A}^{2}}{2C}}={\frac {CV_{B}^{2}}{2}}-Q_{A}V_{B}+{\frac {Q_{A}^{2}}{2C}}$

Esta cantidad essiempre positiva, ya que se puede poner como un cuadrado perfecto.

$Q_{\mathrm {out} }={\frac {(CV_{B}-Q_{A})^{2}}{2C}}$

Este calor solo se anula cuando el voltaje inicial del conductor coincide con su voltaje final.

Representación gráfica

Podemos trazar las gráficas de las tres cantidades como función del voltaje aplicado por la fuente.

Resultan tres parábolas. Podemos ver que si $Q_{A}=CV_{B}$ se anulan las tres, ya que no ocurre nada en el sistema.

También podemos representarlas como función de la carga inicial, para un voltaje fijado de la fuente. En este caso resultan dos parábolas y una recta.