Ver el código de «Varilla apoyada sobre un cuadrado con contacto rugoso»

== Enunciado ==
[[Imagen:F1_GIC_varilla_cuadrado_rugoso.png|right|300px]]
El esquema de la figura muestra una placa cuadrada de lado <math>a</math> y espesor y peso despreciables (sólido "0"). Ésta se halla contenida en un plano vertical <math>OX_1Y_1</math>, con uno de sus lados en contacto con el eje horizontal <math>OX_1</math> (sólido "1"). Dicho contacto es rugoso, con un coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>. Al mismo tiempo, sobre el vértice <math>A</math> de la placa se apoya una varilla pesada y homogénea, de peso <math>P</math> y longitud <math>2a</math> (sólido "2"), con un contacto liso. La varilla se mantiene siempre en el plano vertical <math>OX_1Y_1</math>, y puede girar libremente  alrededor de su extremo articulado sin rozamiento en el punto <math>O</math> del eje horizontal fijo. Se pide:
#Fragmentar el sistema de sólidos y representar sus correspondientes "diagramas de sólido libre".
#El rango de valores del parámetro <math>\theta</math> para el que es posible el equilibrio estático del sistema, y las reacciones vinculares ejercidas sobre la varilla en dicha situación.

== Solución ==
===Diagrama de sólido libre===


[[Imagen:F1_GIC_varilla_cuadrado_rugoso_fuerzas.png|right|300px]]
Los contactos en <math>A</math> y <math>O</math> son lisos, mientras que el contacto de la
base de la placa con el suelo es rugoso. Este último es un contacto
distribuido, es decir, hay una distribución de fuerzas paralelas
actuando sobre la base de la placa. Este sistema puede reducirse en su
centro(punto <math>B</math> en la figura), donde se sitúa su resultante
(fuerza <math>\vec{N}^B_{01}</math>). Además,
el carácter rugoso del contacto hace que aparezca una fuerza
<math>\vec{f}^B_{01}</math> proporcional a la resultante del sistema de fuerzas
paralelas. La fuerza de reacción vincular
<math>\vec{\Phi}^B_{01}</math> es la suma de estas dos fuerzas.  La figura de la izquierda muestra las fuerzas que actúan
sobre los sólidos "2" y "0". Para que el equilibrio pueda
producirse el punto <math>B</math> debe estar dentro de la base de
la placa. 

En el dibujo, la dirección de la fuerza <math>\vec{\Phi}^O_{21}</math> en la
articulación se determina aplicando el teorema de las tres fuerzas al
sólido "2".

===Condición de equilibrio===
Los vectores de posición de los puntos relevantes en el problema son
<center><math>
  \overrightarrow{OG} = a\cos\theta\,\vec{\imath}+a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}, \qquad
  \overrightarrow{OA} = \dfrac{a}{\tan\theta}\,\vec{\imath}+a\,\vec{\jmath}, \qquad
  \overrightarrow{OB} = d\,\vec{\imath}
</math></center>

A partir de la figura, las expresiones de las diferentes fuerzas que
actúan sobre cada sólido son
<center><math>
  \begin{array}{|c|c|}
    \hline
    \mathrm{Cuerpo\quad 2}&\mathrm{Cuerpo\quad 0}\\ \hline & \\
    \vec{P}=-P\,\vec{\jmath}&\vec{\Phi}^B_{01}=f^B_{01}\,\vec{\imath} +
    N^B_{01}\,\vec{\jmath}\\  & \\
    \vec{\Phi}^A_{20} = -N^A_{20}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}+N^A_{20}\cos\theta\,\vec{\jmath}&
    \vec{\Phi}^A_{02} =
    -\vec{\Phi}^A_{20}=N^A_{20}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}-N^A_{20}\cos\theta\,\vec{\jmath}\\ & \\
    \vec{\Phi}^O_{21}=\Phi^O_{21x}\,\vec{\imath} +
    \Phi^O_{21y}\,\vec{\jmath}& \\
    \hline
  \end{array}
</math></center>

Podemos determinar <math>N^A_{20}</math> imponiendo que el momento total sobre el
sólido "2" es nulo. Calculando este momento en <math>O</math> evitamos tener
que detallar la fuerza <math>\vec{\Phi}^O_{21}</math>.  Tenemos
<center><math>
\left.
  \begin{array}{rl}
  \overrightarrow{OG}\times\vec{P}&+\overrightarrow{OA}\times\vec{\Phi}^A_{20}=
  \vec{0} \\
  &\overrightarrow{OG}\times\vec{P} = -aP\cos\theta\,\vec{k}\\
  &\overrightarrow{OA}\times\vec{\Phi}^A_{20}=\dfrac{aN^A_{20}}{\,\mathrm{sen}\,\theta}\,\vec{k}
  \end{array}
\right\} \Longrightarrow
N^A_{20}=P\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta
</math></center>
Ahora podemos calcular <math>\vec{\Phi}^O_{21}</math> imponiendo que la suma
de fuerzas sobre la varilla sea nula
<center><math>
  \vec{P}+\vec{\Phi}^A_{20}+\vec{\Phi}^O_{21}=\vec{0}
  \Rightarrow 
  \vec{\Phi}^O_{21}=-\vec{P}-\vec{\Phi}^A_{20}=
  P\,\mathrm{sen}\,^2\theta\cos\theta\,\vec{\imath}+P(1-\,\mathrm{sen}\,\theta\cos^2\theta)\,\vec{\jmath}
</math></center>
Ahora aplicamos que la suma de fuerzas sobre la placa también debe ser
cero en el equilibrio
<center><math>
  \vec{\Phi}^B_{01}+\vec{\Phi}^A_{02}+\vec{f}=\vec{0}\Rightarrow 
 \left\{
   \begin{array}{l}
     f^B_{01} = P\,\mathrm{sen}\,^2\theta\cos\theta\\ \\
     N^B_{01} = P\,\mathrm{sen}\,\theta\cos^2\theta
   \end{array}
\right.
</math></center>
El módulo de la fuerza de rozamiento es <math>f\leq\mu N^B_{01}</math>.  Por tanto,
para que el equilibrio sea posible debe cumplirse
<center><math>
  \mu N^B_{01}\leq P\,\mathrm{sen}\,^2\theta\cos\theta\Rightarrow 
  \tan\theta\leq\mu
</math></center>
Si <math>\theta</math> es mayor que ese valor límite, la placa desliza hacia la
derecha. 

Pero el equilibrio también puede romperse por el vuelco de la
placa. Para estudiarlo examinamos la condición de que el momento
resultante de las fuerzas aplicadas sobre la placa sea nulo. Escogemos
el punto <math>O</math> para calcular el momento
<center><math>
  \left.
    \begin{array}{rl}
      \overrightarrow{OA}\times\vec{\Phi}^A_{02}&+
      \overrightarrow{OB}\times\vec{\Phi}^B_{01} = \vec{0}\\
      &\overrightarrow{OA}\times\vec{\Phi}^A_{02}=-aP\cos\theta\,\vec{k}\\
      &\overrightarrow{OB}\times\vec{\Phi}^B_{01}=dP\sin\theta\cos^2\theta\,\vec{k}
    \end{array}
  \right\} 
  \Longrightarrow
  d=\dfrac{a}{\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta}
</math></center>
Para que la placa no vuelque el punto <math>B</math> debe estar dentro de su
base, es decir, debe cumplirse
<center><math>
  \dfrac{a}{\tan\theta}\leq d\leq  a\left( \dfrac{1}{\tan\theta}+1\right)
    \Longrightarrow
    \begin{array}{l}
      \cos^2\theta\leq 1\\
      \cos\theta(\cos\theta+\,\mathrm{sen}\,\theta)\geq 1
    \end{array}
</math></center>
La primera condición se cumple siempre, pues 
<math>|\cos\theta\,|</math> es siempre menor que  uno. Esto quiere decir que el punto <math>B</math>
nunca va a salirse de la base hacia el punto <math>O</math>, es decir, el bloque
nunca va a volcar hacia la izquierda.


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