Varilla apoyada sobre un cuadrado con contacto rugoso

Enunciado

El esquema de la figura muestra una placa cuadrada de lado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} y espesor y peso despreciables (sólido "0"). Ésta se halla contenida en un plano vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1} , con uno de sus lados en contacto con el eje horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} (sólido "1"). Dicho contacto es rugoso, con un coeficiente de rozamiento estático Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} . Al mismo tiempo, sobre el vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la placa se apoya una varilla pesada y homogénea, de peso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} y longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2a} (sólido "2"), con un contacto liso. La varilla se mantiene siempre en el plano vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1} , y puede girar libremente alrededor de su extremo articulado sin rozamiento en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} del eje horizontal fijo. Se pide:

1. Fragmentar el sistema de sólidos y representar sus correspondientes "diagramas de sólido libre".
2. El rango de valores del parámetro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} para el que es posible el equilibrio estático del sistema, y las reacciones vinculares ejercidas sobre la varilla en dicha situación.

Solución

Diagrama de sólido libre

Los contactos en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} son lisos, mientras que el contacto de la base de la placa con el suelo es rugoso. Este último es un contacto distribuido, es decir, hay una distribución de fuerzas paralelas actuando sobre la base de la placa. Este sistema puede reducirse en su centro(punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} en la figura), donde se sitúa su resultante (fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}^B_{01}} ). Además, el carácter rugoso del contacto hace que aparezca una fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{f}^B_{01}} proporcional a la resultante del sistema de fuerzas paralelas. La fuerza de reacción vincular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^B_{01}} es la suma de estas dos fuerzas. La figura de la izquierda muestra las fuerzas que actúan sobre los sólidos "2" y "0". Para que el equilibrio pueda producirse el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} debe estar dentro de la base de la placa.

En el dibujo, la dirección de la fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^O_{21}} en la articulación se determina aplicando el teorema de las tres fuerzas al sólido "2".

Condición de equilibrio

Los vectores de posición de los puntos relevantes en el problema son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OG} = a\cos\theta\,\vec{\imath}+a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}, \qquad \overrightarrow{OA} = \dfrac{a}{\tan\theta}\,\vec{\imath}+a\,\vec{\jmath}, \qquad \overrightarrow{OB} = d\,\vec{\imath} }

A partir de la figura, las expresiones de las diferentes fuerzas que actúan sobre cada sólido son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{|c|c|} \hline \mathrm{Cuerpo\quad 2}&\mathrm{Cuerpo\quad 0}\\ \hline & \\ \vec{P}=-P\,\vec{\jmath}&\vec{\Phi}^B_{01}=f^B_{01}\,\vec{\imath} + N^B_{01}\,\vec{\jmath}\\ & \\ \vec{\Phi}^A_{20} = -N^A_{20}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}+N^A_{20}\cos\theta\,\vec{\jmath}& \vec{\Phi}^A_{02} = -\vec{\Phi}^A_{20}=N^A_{20}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}-N^A_{20}\cos\theta\,\vec{\jmath}\\ & \\ \vec{\Phi}^O_{21}=\Phi^O_{21x}\,\vec{\imath} + \Phi^O_{21y}\,\vec{\jmath}& \\ \hline \end{array} }

Podemos determinar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N^A_{20}} imponiendo que el momento total sobre el sólido "2" es nulo. Calculando este momento en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} evitamos tener que detallar la fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^O_{21}} . Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{rl} \overrightarrow{OG}\times\vec{P}&+\overrightarrow{OA}\times\vec{\Phi}^A_{20}= \vec{0} \\ &\overrightarrow{OG}\times\vec{P} = -aP\cos\theta\,\vec{k}\\ &\overrightarrow{OA}\times\vec{\Phi}^A_{20}=\dfrac{aN^A_{20}}{\,\mathrm{sen}\,\theta}\,\vec{k} \end{array} \right\} \Longrightarrow N^A_{20}=P\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta }

Ahora podemos calcular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^O_{21}} imponiendo que la suma de fuerzas sobre la varilla sea nula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}+\vec{\Phi}^A_{20}+\vec{\Phi}^O_{21}=\vec{0} \Rightarrow \vec{\Phi}^O_{21}=-\vec{P}-\vec{\Phi}^A_{20}= P\,\mathrm{sen}\,^2\theta\cos\theta\,\vec{\imath}+P(1-\,\mathrm{sen}\,\theta\cos^2\theta)\,\vec{\jmath} }

Ahora aplicamos que la suma de fuerzas sobre la placa también debe ser cero en el equilibrio

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^B_{01}+\vec{\Phi}^A_{02}+\vec{f}=\vec{0}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f^B_{01} = P\,\mathrm{sen}\,^2\theta\cos\theta\\ \\ N^B_{01} = P\,\mathrm{sen}\,\theta\cos^2\theta \end{array} \right. }

El módulo de la fuerza de rozamiento es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f\leq\mu N^B_{01}} . Por tanto, para que el equilibrio sea posible debe cumplirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu N^B_{01}\leq P\,\mathrm{sen}\,^2\theta\cos\theta\Rightarrow \tan\theta\leq\mu }

Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} es mayor que ese valor límite, la placa desliza hacia la derecha.

Pero el equilibrio también puede romperse por el vuelco de la placa. Para estudiarlo examinamos la condición de que el momento resultante de las fuerzas aplicadas sobre la placa sea nulo. Escogemos el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} para calcular el momento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{rl} \overrightarrow{OA}\times\vec{\Phi}^A_{02}&+ \overrightarrow{OB}\times\vec{\Phi}^B_{01} = \vec{0}\\ &\overrightarrow{OA}\times\vec{\Phi}^A_{02}=-aP\cos\theta\,\vec{k}\\ &\overrightarrow{OB}\times\vec{\Phi}^B_{01}=dP\sin\theta\cos^2\theta\,\vec{k} \end{array} \right\} \Longrightarrow d=\dfrac{a}{\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta} }

Para que la placa no vuelque el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} debe estar dentro de su base, es decir, debe cumplirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{a}{\tan\theta}\leq d\leq a\left( \dfrac{1}{\tan\theta}+1\right) \Longrightarrow \begin{array}{l} \cos^2\theta\leq 1\\ \cos\theta(\cos\theta+\,\mathrm{sen}\,\theta)\geq 1 \end{array} }

La primera condición se cumple siempre, pues Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\cos\theta\,|} es siempre menor que uno. Esto quiere decir que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} nunca va a salirse de la base hacia el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} , es decir, el bloque nunca va a volcar hacia la izquierda.