Ver el código de «Tres barras con simetría, Noviembre 2015 (MR G.I.C.)»

== Enunciado ==
[[Imagen:Tres_barras_enunciado_PPC_MR.png|right]]
El sistema de la figura es un modelo muy simplificado de hélice de un aerogenerador. Consta de tres barras iguales, de masas <math>M</math> y longitud <math>L</math>, soldadas en el punto <math>O</math>, de modo que forman un sólo sólido rígido. El ángulo entre las tres barras es el mismo.
# Calcula el momento de inercia respecto al eje <math>OZ_1</math> en <math>O</math>.
# Calcula el tensor de inercia en <math>O</math>.
#  El sólido rota alrededor de un eje que pasa por <math>O</math>, está contenido en el plano <math>OX_1Z_1</math> y forma un ángulo <math>\pi/4</math> con el eje <math>OX_1</math>. Calcula el momento de inercia del sólido alrededor de ese eje.
#Si el vector de rotación tiene módulo <math>\omega_0</math> y apunta hacia los sentidos positivos de los ejes <math>OX_1</math> y <math>OZ_1</math>, calcula el coseno del ángulo que forman el momento cinético y el vector rotación.
#En este último caso, calcula la energía cinética.

== Solución ==

=== Momento de inercia ===
El momento de inercia de un sólido respecto a un eje es
<center>
<math>
I = \int\,\mathrm{d}m\,a^2
</math>
</center>
donde <math>a </math> es la distancia de cada punto del sólido al eje. En este caso, la integral se compone de tres integrales, una para cada barra:
<center>
<math>
I = 3\int\limits_{\mathrm{barra}}\,\mathrm{d}m\,a^2
</math>
</center>
Pero para cada barra la integral es el momento de inercia respecto de un eje perpendicular a ella que pasa por su extremo:
<center>
<math>
\int\limits_{\mathrm{barra}}\,\mathrm{d}m\,a^2
=
\dfrac{1}{3}ML^2
</math>
</center>
Por tanto el momento de inercia pedido es
<center>
<math>
I = 3 
\dfrac{1}{3}ML^2 = ML^2
</math>
</center>

=== Tensor de inercia en O ===
El sistema es plano, por lo que el eje <math>OZ_1 </math> es eje principal de inercia. Además tiene simetría respecto al eje <math>OZ_1 </math>, pues en ángulo entre las barras es el mismo. Por tanto, todas las direcciones en el plano <math>O_1X_1Y_1 </math> son direcciones principales de inercia, y el tensor de inercia en <math>O </math> es diagonal cuando se expresa en los ejes de la figura. 

Por ser el sistema plano
<center>
<math>
I_{33} = I_{11} + I_{22}
</math>
</center>
A causa de la simetría <math>I_{11} = I_{22} </math>, por lo que
<center>
<math>
I_{11} = I_{22} = \dfrac{1}{2}I_{33} = \dfrac{1}{2}I = \dfrac{1}{2}ML^2
</math>
</center>
El tensor de inercia pedido es
<center>
<math>
\overleftrightarrow{I}_O
=
\dfrac{ML^2}{2}
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right]
</math>
</center>

=== Momento de inercia respecto a un eje de rotación ===
Por lo que dice el enunciado el vector rotación es
<center>
<math>
\vec{\omega} = \omega_0\,\left[\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right]
</math>
</center>
Un vector unitario en esa dirección es 
<center>
<math>
\vec{n} = \left[\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right]
</math>
</center>
El momento de inercia respecto del eje es
<center>
<math>
I_{\Delta} =
\vec{n}\cdot\overleftrightarrow{I}_O\cdot\vec{n}
=
\dfrac{ML^2}{2}
\left[\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right]
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}
\right]
=
\dfrac{3}{4}ML^2
</math>
</center>

=== Ángulo entre los vectores rotación y momento cinético ===
Como <math>O </math> es un punto fijo, el momento cinético del sólido es
<center>
<math>
 \vec{L}_O
=
\overleftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega}
=
\dfrac{ML^2}{2}
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}
\right]
=
\dfrac{ML^2}{2}
\left[
\begin{array}{c}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \sqrt{2}
\end{array}
\right]
</math>
</center>
El coseno del ángulo entre los vectores rotación y momento cinético es
<center>
<math>
\cos\alpha = \dfrac{\vec{L}_O\cdot\vec{\omega}}{|\vec{L}_O||\vec{\omega}|}
=
\dfrac{3}{\sqrt{10}}
</math>
</center>
=== Energía cinética ===
Al ser un punto fijo, la energía cinética del sólido es
<center>
<math>
T =
\dfrac{1}{2}
\vec{\omega}\cdot\overleftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega}
=
\dfrac{ML^2\omega_0^2}{2}
\left[\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right]
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}
\right]
=
\dfrac{3}{8}ML^2\omega_0^2
</math>
</center>

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