Ver el código de «Semiaro con barra tangente, Noviembre 2015 (G.I.C.)»

== Enunciado ==
[[Imagen:Semiaro_barra_tangente_enunciado_PPC_2015.png|right]]
El semiaro de la figura, de radio <math>R</math>, está articulado en <math>O</math>, de modo que rota alrededor de él. En el extremo <math>A</math> del seimaro se encuentra conectada una barra <math>AP</math>, de longitud <math>L</math>, que es siempre tangente al semiaro en <math>A</math>. El ángulo que forma la línea <math>OA</math> con el eje <math>OX</math> es <math>\theta(t)</math>. 
#Escribe el vector de posición del punto <math>A</math>
#Escribe el vector de posición del punto <math>P</math>
#¿Cuál es el valor de <math>L</math> para que los puntos <math>O</math>, <math>B</math> y <math>P</math> estén alineados en todo instante?
#La celeridad del punto <math>P</math> es <math>|\vec{v_P}|=v_0</math>, constante en el tiempo.  Si en el instante inicial <math>\theta(0)=0</math>, ¿cómo es la ley horaria <math>\theta(t)</math>?
#Supongamos ahora  que la ley horaria es de la forma <math>\theta(t)=\omega_0t</math>, con <math>\omega_0</math> constante. Escribe el vector tangente en el instante inicial.
#¿Cómo es el radio de curvatura de la trayectoria del punto <math>P</math> en todo instante?

== Solución ==

=== Vectores de posición de los puntos <math>A </math> y <math>P </math>===
[[Imagen:Semiaro_barra_tangente_vectores_PPC_2015.png|right]]
En la figura se indica donde aparece el ángulo <math>\theta </math>. El vector de posición del punto <math>A </math> es
<center>
<math>
\overrightarrow{OA} = 2R\,\cos\theta\,\vec{\imath} + 2R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
Construimos el vector <math>\overrightarrow{OP} </math> como la suma
<center>
<math>
\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP}
</math>
</center>
Del dibujo vemos que
<center>
<math>
\overrightarrow{AP} = L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} - L\cos\theta\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
Por tanto el vector pedido es
<center>
<math>
\overrightarrow{OP} = (2R\cos\theta + L\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath} + (2R\mathrm{sen}\,\theta - L\cos\theta)\,\vec{\jmath}
</math>
</center>

=== Condición para que <math>O </math>, <math>B </math> y <math>P </math> estén siempre alineados ===
Para que esto ocurra debe cumplirse
<center>
<math>
\overrightarrow{OB}\parallel \overrightarrow{OP}
</math>
</center>
El vector de posición del punto <math>B </math> es <math>\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CB} </math>. Tenemos
<center>
<math>
\overrightarrow{OC} = R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\theta\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
y
<center>
<math>
\overrightarrow{CB} = R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} - R\cos\theta\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
Por tanto 
<center>
<math>
\overrightarrow{OB} = (R\cos\theta + R\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath} + (R\,\mathrm{sen}\theta - R\cos\theta)\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
Para que los vectores <math>\overrightarrow{OP} </math> y <math>\overrightarrow{OB} </math> sean paralelos el ratio de sus componentes deben ser el mismo:
<center>
<math>
\dfrac{2R\cos\theta + L\,\mathrm{sen}\,\theta}{R\cos\theta + R\,\mathrm{sen}\,\theta}
=
\dfrac{2R\mathrm{sen}\,\theta - L\cos\theta}{R\,\mathrm{sen}\theta - R\cos\theta}
</math>
</center>
Esta condición también se puede obtener imponiendo la condición <math>\overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OP}=\vec{0} </math>. 
Aquí ya se puede ver que si <math>L=2R </math>, los numeradores son el doble de los denominadores, con lo que se cumple la condición. Si esto se nos pasa, proseguimos 
multiplicando en aspa
<center>
<math>
2R^2\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta - 2R^2\cos^2\theta + LR\,\mathrm{sen}^2\theta - LR\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta = 2R^2\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta - LR\cos^2\theta + 2R^2\,\mathrm{sen}^2\theta - LR\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta
</math>
</center>
Los términos con productos de senos y cosenos se van. Agrupando los otros y usando que <math>\cos^2\theta +\,\mathrm{sen}^2\theta=1</math> obtenemos
<center>
<math>
LR = 2R^2 \Longrightarrow L = 2R.
</math>
</center>
=== Ley horaria <math>\theta(t) </math>===
Ahora consideramos que el ángulo <math>\theta </math> es una función del tiempo <math>\theta(t) </math>. Derivamos el vector de posición <math>\overrightarrow{OP} </math> respecto del tiempo utilizando la regla de la cadena
<center>
<math>
\vec{v}_P(t) = \dot{\overrightarrow{OP}} 
=
\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OP}}{\mathrm{d}\theta}\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}
=
\dot{\theta}\,[(-2R\,\mathrm{sen}\,\theta+L\cos\theta)\,\vec{\imath} + (2R\cos\theta + L\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}\,]
</math>
</center>
Calculamos el módulo de este vector
<center>
<math>
|\vec{v}_P| = \dot{\theta} \sqrt{4R^2\,\mathrm{sen}^2\theta + L^2\cos^2\theta - 2LR\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta + 4R^2\cos^2\theta + L^2\,\mathrm{sen}^2\theta + 2LR\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta}
=
\dot{\theta}\sqrt{4R^2+L^2}
</math>
</center>
Igualamos este módulo a <math>v_0 </math>, con lo que obtenemos una ecuación diferencial para <math>\theta(t) </math>
<center>
<math>
v_0 = \dot{\theta}\sqrt{4R^2+L^2}
\Longrightarrow
\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \dfrac{v_0}{\sqrt{4R^2+L^2}}
</math>
</center>
Pasamos <math>\mathrm{d}t </math> a la derecha e integramos, imponiendo las condiciones iniciales en los límites de la integral
<center>
<math>
\int\limits_0^{\theta(t)}\mathrm{d}\theta = \int\limits_0^t\dfrac{v_0}{\sqrt{4R^2+L^2}}
\,\mathrm{d}t
</math>
</center>
y obtenemos
<center>
<math>
\theta(t) = \dfrac{v_0}{\sqrt{4R^2+L^2}}\,t
</math>
</center>

=== Vector tangente en el instante inicial ===
El vector tangente puede calcularse a partir del vector velocidad
<center>
<math>
\vec{T}(t) = \dfrac{\vec{v}_P(t)}{|\vec{v}_P|}
</math>
</center>
Como nos lo piden en el instante inicial, usamos la condición inicial <math>\theta(0)=0 </math> para simplificar el vector velocidad
<center>
<math>
\vec{v}_P(0) = \dot{\theta}(0)\,( L\,\vec{\imath} + 2R\,\vec{\jmath})
</math>
</center>
El módulo de este vector es
<center>
<math>
|\vec{v}_P(0)| = \dot{\theta}(0)\sqrt{L^2+4R^2}
</math>
</center>
Por tanto el vector tangente en <math>t=0 </math> es
<center>
<math>
\vec{T}(0) = \dfrac{1}{\sqrt{L^2+4R^2}}\,\left(L\,\vec{\imath} + 2R\,\vec{\jmath}\right)
</math>
</center>

=== Radio de curvatura ===
La distancia del punto <math>P </math> al punto <math>O </math> es siempre la misma, el módulo del vector <math>\overrightarrow{OP} </math>. Como además es una curva plana, pues está siempre en el plano <math>OXY </math>, la trayectoria es una circunferencia. El radio de curvatura es siempre el mismo e igual al radio de la circunferencia:
<center>
<math>
R_{\kappa} = |\overrightarrow{OP}| = \sqrt{L^2 + 4R^2}
</math>
</center>


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