Ver el código de «Segunda Convocatoria Ordinaria 2023/24 (MR G.I.C.)»

==[[ Aro articulado en el extremo de una barra (Jun. 2023) | Aro articulado en el extremo de una barra ]]==
[[Archivo:BarraAroSCO2023.png|right]]
Una barra (sólido "0") homogénea y delgada de longitud <math>2R</math> y masa despreciable está
articulada en el punto fijo <math>O</math>. La barra está siempre contenida en el plano <math>OX_1Y_1</math> y rota alrededor del eje fijo <math>OZ_1</math>. El sistema de ejes <math>OX_0Y_0Z_0</math> se elige de modo que el eje <math>OX_0</math> contenga siempre a la barra. Un aro (sólido "2") de
radio <math>R</math> y masa <math>m</math>, se articula sobre el extremo <math>A</math> de la barra "0", de modo que puede rotar alrededor del eje <math>X_2</math>, paralelo en todo momento al eje <math>OY_0</math>. El sistema de ejes "2"  se elige de modo que <math>Z_2</math> sea perpendicular al plano del aro y el eje <math>X_2</math> sea paralelo al <math>Y_0</math>. De este modo, el eje <math>Y_2</math> contiene siempre al centro del aro y el plano <math>Y_2Z_2</math> coincide con el plano <math>X_0Z_0</math> El aro no rota alrededor del eje <math>Z_2</math>.
El sistema está sometido a la acción de la gravedad, como se indica en la figura. 

'''Nota:''' Utiliza la base vectorial asociada al sólido "0" para hacer todos los cálculos.


*Expresa los vectores de la base del sistema "2" en función de los vectores de la base "0", y los de la base "0" en función de los de la base "2".
*Encuentra la reducción cinemática de los movimientos {01}, {20} y {21} en el punto <math>A</math>.
*Calcula la cantidad de movimiento del aro y el o angular del aro en su centro de masas.
*Dibuja el diagrama de fuerzas y momentos sobre la barra y el aro.
*Escribe la expresión genérica de las fuerzas y momentos activos y vinculares que actúan sobre cada sólido. ¿Cuántas incógnitas tiene el problema? 
*Escribe la expresión vectorial del T.C.M. y el T.M.C. aplicados a los dos sólidos ¿Cuántas ecuaciones pueden obtenerse? (No hay que escribir las ecuaciones)
*Escribe la energía potencial total del sistema "0" + "2".
*¿Qué integral o integrales primeras del sistema "0" + "2"  existen? ¿Por qué? (No hay que escribir las expresiones).

Supondremos a partir de ahora que la función de Lagrange tiene la forma
<math>
	{\cal L} = A\dot{\phi}^2\sen\phi + B\dot{\theta}^2 + C\cos\theta,
</math>
siendo <math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math> constantes conocidas.

*Aplica el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar las ecuaciones que describen el movimiento de los sólidos si se verifican estas dos ligaduras:
<center>
<math>
	g_1 = \dot{\theta} - \omega_0 = 0, \qquad g_2 = 2\dot{\phi} - \omega_0 = 0.
</math>
</center>
*En <math>t=0^-</math> tenemos <math>\phi(0)=\pi/4</math>, <math>\theta(0)=0</math> y <math>\dot{\phi}(0^-)=\dot{\theta}(0^-)=0</math>. Se aplica una percusión <math>\vec{\hat{F}}=\hat{F}_0\,(\vec{\imath}_0 + \vec{\jmath}_0)</math> en el punto <math>B</math> del aro.  Determina el valor de <math>\dot{\phi}(0^+)</math> y <math>\dot{\theta}(0^+)</math>.  (Las ligaduras del apartado anterior no se aplican en este apartado)