Ver el código de «Placa cuadrada empujada contra una pared (Ene. 2020 G.I.C.)»

= Enunciado =
[[File:F1GIC-placaparedvertical-enunciado.png|right]]
Una placa cuadrada de masa <math>m</math> y lado <math>2d</math> se apoya en una pared vertical rugosa con coeficiente
de rozamiento estático <math>\mu=1</math>. Una fuerza <math>\vec{F}</math> empuja el bloque contra la pared.
El módulo de la fuerza es <math>F_0</math> y forma un ángulo <math>\beta</math> con el eje <math>Y_1</math>. La gravedad
actúa como se indica en la figura. El ángulo <math>\beta</math> verifica
<center>
<math>
  \mathrm{sen}\,\beta = \dfrac{3}{5}, \qquad \cos\beta = \dfrac{4}{5}.
</math>
</center>

#Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la placa.
#Calcula el valor de las fuerzas que actúan sobre la placa en condiciones de equilibrio estático.
#¿Que condiciones debe cumplir <math>F_0</math> para que la placa no deslice?
#¿Que condiciones debe cumplir <math>F_0</math> para que la placa no vuelque respecto a la pared?
#¿Que condiciones debe cumplir <math>F_0</math> para que la placa ni deslice ni vuelque respecto a la pared?

= Solución =

== Diagrama de fuerzas ==
[[File:F1GIC-placaparedvertical-fuerzas.png|right]]
La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la placa: la fuerza aplicada <math>\vec{F}</math>, el peso <math>\vec{P}_g</math>, la fuerza vincular normal <math>\vec{E}</math> y la fuerza de rozamiento <math>\vec{E}_R</math>. Expresamos estas fuerzas en el sistema de ejes de la figura
<center>
<math>
\begin{array}{lr}
\vec{F} = -F_0\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\imath} + F_0\cos\beta\,\vec{\jmath} = -\dfrac{3}{5}\,\vec{\imath} + \dfrac{4}{5}\,\vec{\jmath} & (B)\\
\vec{P}_g = -mg\,\vec{\jmath} & (G)\\
\vec{E} = E\,\vec{\imath} & (E)\\
\vec{E}_R = E_R\,\vec{\jmath} & (E)\\
\end{array}
</math>
</center>
Indicamos a la derecha el punto donde se aplican estas fuerzas. Todas ellas son vectores deslizantes, por
lo que se pueden deslizar sobre sus respectivas rectas soporte. 

== Situación de equilibrio estático ==
Para que un sólido rígido esté en equilibrio estático deben cumplirse dos condiciones
<center>
<math>
\sum\limits_i \vec{F}_i = \vec{0},
\qquad
\sum\limits_i \vec{M}_{Pi} = \vec{0}.
</math>
</center>
Es decir, que la suma vectorial de fuerzas que actúan sobre el sólido se anule y que el momento de fuerzas
neto respecto a un punto cualquiera que actúen sobre el sólido también se anule.

La condición sobre la suma de fuerzas proporciona dos ecuaciones
<center>
<math>
\vec{F}+\vec{P}_g+\vec{E}+\vec{E}_R = \vec{0}
\to
\left\{
\begin{array}{llr}
X): &  -\dfrac{3}{5}F_0+ E = 0 & (1)\\
&&\\
Y): &  \dfrac{4}{5}F_0 + E_R - mg = 0 & (2)
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Elegimos el punto <math>H</math> de la figura para calcular los momentos
<center>
<math>
\vec{M}_H = 
\overrightarrow{HG}\times\vec{P}_g +
\overrightarrow{HB}\times\vec{F} +
\overrightarrow{HE}\times\vec{E} = \vec{0}.
</math>
</center>
Los momentos son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{HG}\times\vec{P}_g  = (d\,\vec{\imath})\times(-mg\,\vec{\jmath}) = -mgd\,\vec{k},\\
\\
\overrightarrow{HB}\times\vec{F}  =(2d\,\vec{\imath} - d\,\vec{\jmath})\times\left(-\dfrac{3}{5}F_0\,\vec{\imath} + \dfrac{4}{5}F_0\,\vec{\jmath}\right) = F_0d\,\vec{k},\\
\overrightarrow{HE}\times\vec{P}_g  = (\delta\,\vec{\jmath})\times(E\,\vec{\imath}) = -E\delta\,\vec{k}.
\end{array}
</math>
</center>
Obtenemos la ecuación
<center>
<math>
F_0d - mgd - E\delta = 0 \qquad (3)
</math>
</center>
Tenemos tres incógnitas: <math>\{E, E_R, \delta\}</math> para tres ecuaciones. Resolviendo el sistema obtenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{E} = \dfrac{3}{5}F_0\,\vec{\imath},\\
\\
\vec{E}_R = \left(mg-\dfrac{4}{5}F_0\right)\,\vec{\imath},\\
\\
\delta = \dfrac{5}{3}\,\left(1-\dfrac{mg}{F_0}\right)\,d.
\end{array}
</math>
</center>

== Análisis del deslizamiento ==
Para que no deslice debe cumplirse
<center>
<math>
|\vec{E}_R| \leq \mu |\vec{E}|
\Longrightarrow
\left| mg - \dfrac{4}{5}F_0\right| \leq \dfrac{3}{5}F_0
\Longrightarrow
|5mg-4F_0| \leq 3F_0.
</math>
</center>
Hemos usado que <math>\mu=1</math>. Tenemos que considerar dos posibles situaciones:

===== <math>5mg>4F_0</math> =====
Entonces se tiene <math>|5mg-4F_0| = 5mg-4F_0</math> y la condición queda
<center>
<math>
5mg-4F_0 \leq 3F_0
\Longrightarrow
F_0 \geq 5mg/7.
</math>
</center>
En este caso la fuerza de rozamiento apunta hacia arriba e impide que la placa deslice hacia abajo.

===== <math>5mg<4F_0</math> =====
Entonces se tiene <math>|5mg-4F_0| = 4F_0-5mg</math> y la condición queda
<center>
<math>
4F_0 -5mg \leq 3F_0
\Longrightarrow
F_0 \leq 5mg.
</math>
</center>
En este caso la fuerza de rozamiento apunta hacia abajo e impide que la placa deslice hacia arriba.

Resumiendo las dos condiciones, para que no haya deslizamiento debe ocurrir
<center>
<math>
F_0\in \left[\dfrac{5}{7}mg, 5mg\right] = [0.714mg, 5mg]
</math>
</center>

== Análisis del vuelco ==
Para que la placa no vuelque debe ocurrir que
<center>
<math>
-d\leq\delta\leq d.
</math>
</center>
La condición de la izquierda es
<center>
<math>
\dfrac{5}{3}\,\left(1-\dfrac{mg}{F_0}\right)\,d\geq -d
\to
5-\dfrac{5mg}{F_0} \geq -3
\to
8 \geq \dfrac{5mg}{F_0}
\to
F_0\geq \dfrac{5}{8}mg.
</math>
</center>
La condición de la derecha es
<center>
<math>
\dfrac{5}{3}\,\left(1-\dfrac{mg}{F_0}\right)\,d\leq d
\to
5-\dfrac{5mg}{F_0} \leq 3
\to
2 \leq \dfrac{5mg}{F_0}
\to
F_0\leq \dfrac{5}{2}mg.
</math>
</center>
Es decir, para que no vuelque debe ocurrir
<center>
<math>
F_0\in \left[\dfrac{5}{8}mg, \dfrac{5}{2}mg\right] = [0.625mg, 2.5mg]
</math>
</center>

== Condición para que ni vuelque ni deslice ==
[[File:F1GIC-placaparedvertical-equilibrio.png|right]]
Para que ocurra esto deben cumplirse a la vez las condiciones de no deslizamiento y no vuelco.
La figura de la derecha muestra los intervalos de valores de <math>F_0/mg</math> para los que hay equilibrio
frente a vuelco. Para que se cumplan las dos cosas a la vez debe ocurrir
<center>
<math>
F_0\in [0.714mg, 2.5mg]
</math>
</center>

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