Ver el código de «Partícula sometida a fuerza magnética»

==Enunciado==
Sea una partícula con carga <math>q</math> y masa <math>m</math> sometida exclusivamente a un campo magnético uniforme y constante, de forma que experimenta la fuerza

<center><math>\vec{F}_m = q\vec{v}\times\vec{B}_0</math></center>

Supongamos que la partícula posee una velocidad inicial <math>\vec{v}_0</math>

# Demuestre que la energía cinética de la partícula es una integral primera.
# Demuestre que el producto <math>P_1 = \vec{v}\cdot\vec{B}_0</math> es también una constante de movimiento.
# De acuerdo con lo anterior, ¿es <math>P_2 = |\vec{v}\times\vec{B}_0|</math> una integral primera?
# Suponga que <math>P_1 \neq 0</math> y <math>P_2 = 0</math>, ¿qué representa en términos de la velocidad inicial? ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula en este caso?
# Suponga ahora <math>P_1 = 0</math> y <math>P_2\neq 0</math>,
## ¿A qué tipo de velocidad inicial corresponde?
## Demuestre que en este caso la trayectoria es plana. 
## Calcule el radio de curvatura de la trayectoria. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

==Energía cinética==
La energía cinética de la carga es

<center><math>K = \frac{1}{2}mv^2</math></center>

Para ver que es una integral primera, derivamos respecto al tiempo

<center><math>\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=m\vec{v}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=
\vec{v}\cdot(m\vec{a})</math></center>

Sustituyendo aquí la fuerza magnética

<center><math>\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=q\vec{v}\cdot(\vec{v}\times\vec{B}_0)=0</math></center>

Puesto que la fuerza es puramente normal en todo momento, la potencia desarrollada por ella es nula y la energía cinética permanece constante. Ello implica que el movimiento de una carga en un campo magnético es siempre uniforme.

==Componente paralela==
La cantidad

<center><math>P_1 = \vec{v}\cdot\vec{B}_0</math></center>

es proporcional a la componente de la velocidad paralela al campo magnético

<center><math>\mathrm{proy}_{\parallel\vec{B}_0}(\vec{v}) = \frac{P_1}{B_0}</math></center>

De nuevo, para ver que es una integral primera, derivamos respecto al tiempo

<center><math>\frac{\mathrm{d}P_1}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\cdot\vec{B}_0=
\frac{q}{m}(\vec{v}\times\vec{B}_0)\cdot\vec{B}_0 = 0</math></center>

Puesto que la derivada es nula, <math>P_1</math> es una integral primera. Geométricamente, esto quiere decir que la proyección de la velocidad en la dirección del campo magnético se mantiene constante en todo momento.

==Componente ortogonal==
La cantidad <math>P_2</math>

<center><math>P_2 = \left|\vec{v}\times\vec{B}_0\right|</math></center>

es proporcional a la proyección ortogonal de la velocidad sobre el campo magnético

<center><math>\mathrm{proy}_{\perp\vec{B}_0}(\vec{v}) = \frac{P_2}{B_0}</math></center>

La constancia de <math>P_2</math> se deduce de la de <math>P_1</math> y de la energía cinética <math>K</math>. Tenemos que, por un lado

<center><math>v^2 B_0^2 = v^2B_0^2\cos^2(\alpha) + v_0^2B_0\mathrm{sen}^2(\alpha) = P_1^2 + P_2^2</math></center>

y por otro lado

<center><math>v^2B_0^2 = \frac{2B_0^2}{m}K</math></center>

y por tanto

<center><math>P_2 = \sqrt{\frac{2B_0^2}{m}K-P_1^2}</math></center>

Si <math>K</math> y <math>P_1</math> son integrales primeras, <math>P_2</math> también lo es. Geométricamente, tenemos que la velocidad tiene un componente paralela y una ortogonal. Puesto que el módulo de la velocidad es constante y la proyección paralela tampoco varía en el tiempo, resulta que la magnitud de la componente normal permanece invariable, aunque su dirección pueda ir cambiando.

==Caso P<sub>2</sub> = 0 ==
El caso <math>P_2=0</math> corresponde a que la velocidad inicial no tiene componente ortogonal a <math>\vec{B}_0</math>, esto es, se trata de una velocidad inicial paralela al campo magnético.

La constancia de <math>P_2</math> implica que la velocidad siempre es paralela al campo magnético. Puesto que la rapidez también permanece constante, se deduce que la velocidad permanece constante en módulo dirección y sentido 

<center><math>\vec{v}=\vec{v}_0 = \mathrm{cte}</math></center>

y el movimiento resultante es rectilíneo y uniforme en la dirección del campo magnético.

==Caso P<sub>1</sub> = 0 ==
En este caso no hay componente de la velocidad paralela al campo magnético. Esto corresponde a una velocidad inicial perpendicular al campo magnético.

La constancia de <math>P_1</math> implica que la velocidad es siempre perpendicular a <math>\vec{B}_0</math>. La aceleración también lo es. Por tanto, el producto vectorial de <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math> tiene siempre la dirección paralela al campo magnético, el vector binormal es constante y la trayectoria es plana.

Por otro lado, puesto que la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, la aceleración es normal en todo momento y

<center><math>a_n = \frac{|q||\vec{v}\times\vec{B}|}{m} = \frac{|q|P_2}{m} = \frac{|q||\vec{v}_0\times\vec{B}_0|}{m} = \frac{|q|v_0B_0}{m}</math></center>

[[Archivo:orbitas-B.gif|right|300px]]

El radio de curvatura en cada instante será igual a

<center><math>R = \frac{v^2}{a_n} = \frac{mv_0^2}{|q|v_0B_0} = \frac{mv_0}{|q|B_0}</math></center>

Este radio es constante y por tanto la carga describe un movimiento circular uniforme.

El valor del radio de la circunferencia, proporcional a la cantidad de movimiento de la partícula, se denomina ''radio de Larmor'' y es esencial en el descubrimiento de nuevas partículas. La velocidad angular de giro es, en módulo,

<center><math>\omega = \frac{v_0}{R} = \frac{|q|B_0}{m}</math></center>

Esta cantidad se conoce en física de partículas como ''frecuencia ciclotrón''.

En el caso general en que ni <math>P_1</math> ni <math>P_2</math> sean nulas, el movimiento resultante es una combinación de los dos anteriores: un avance a velocidad constante en la dirección del campo magnético, acompañado de un giro uniforme alrededor de él, resultando un movimiento helicoidal.
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