Partícula sometida a fuerza magnética

Enunciado

Sea una partícula con carga Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q} y masa $m$ sometida exclusivamente a un campo magnético uniforme y constante, de forma que experimenta la fuerza

${\vec {F}}_{m}=q{\vec {v}}\times {\vec {B}}_{0}$

Supongamos que la partícula posee una velocidad inicial ${\vec {v}}_{0}$

1. Demuestre que la energía cinética de la partícula es una integral primera.
2. Demuestre que el producto $P_{1}={\vec {v}}\cdot {\vec {B}}_{0}$ es también una constante de movimiento.
3. De acuerdo con lo anterior, ¿es $P_{2}=|{\vec {v}}\times {\vec {B}}_{0}|$ una integral primera?
4. Suponga que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_1 \neq 0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_2 = 0} , ¿qué representa en términos de la velocidad inicial? ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula en este caso?
5. Suponga ahora Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_1 = 0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_2\neq 0} ,
   1. ¿A qué tipo de velocidad inicial corresponde?
   2. Demuestre que en este caso la trayectoria es plana.
   3. Calcule el radio de curvatura de la trayectoria. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

Energía cinética

La energía cinética de la carga es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K = \frac{1}{2}mv^2}

Para ver que es una integral primera, derivamos respecto al tiempo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=m\vec{v}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}= \vec{v}\cdot(m\vec{a})}

Sustituyendo aquí la fuerza magnética

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=q\vec{v}\cdot(\vec{v}\times\vec{B}_0)=0}

Puesto que la fuerza es puramente normal en todo momento, la potencia desarrollada por ella es nula y la energía cinética permanece constante. Ello implica que el movimiento de una carga en un campo magnético es siempre uniforme.

Componente paralela

La cantidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_1 = \vec{v}\cdot\vec{B}_0}

es proporcional a la componente de la velocidad paralela al campo magnético

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{proy}_{\parallel\vec{B}_0}(\vec{v}) = \frac{P_1}{B_0}}

De nuevo, para ver que es una integral primera, derivamos respecto al tiempo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}P_1}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\cdot\vec{B}_0= \frac{q}{m}(\vec{v}\times\vec{B}_0)\cdot\vec{B}_0 = 0}

Puesto que la derivada es nula, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_1} es una integral primera. Geométricamente, esto quiere decir que la proyección de la velocidad en la dirección del campo magnético se mantiene constante en todo momento.

Componente ortogonal

La cantidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_2}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_2 = \left|\vec{v}\times\vec{B}_0\right|}

es proporcional a la proyección ortogonal de la velocidad sobre el campo magnético

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{proy}_{\perp\vec{B}_0}(\vec{v}) = \frac{P_2}{B_0}}

La constancia de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_2} se deduce de la de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_1} y de la energía cinética Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K} . Tenemos que, por un lado

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v^2 B_0^2 = v^2B_0^2\cos^2(\alpha) + v_0^2B_0\mathrm{sen}^2(\alpha) = P_1^2 + P_2^2}

y por otro lado

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v^2B_0^2 = \frac{2B_0^2}{m}K}

y por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_2 = \sqrt{\frac{2B_0^2}{m}K-P_1^2}}

Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_1} son integrales primeras, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_2} también lo es. Geométricamente, tenemos que la velocidad tiene un componente paralela y una ortogonal. Puesto que el módulo de la velocidad es constante y la proyección paralela tampoco varía en el tiempo, resulta que la magnitud de la componente normal permanece invariable, aunque su dirección pueda ir cambiando.

Caso P₂ = 0

El caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_2=0} corresponde a que la velocidad inicial no tiene componente ortogonal a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}_0} , esto es, se trata de una velocidad inicial paralela al campo magnético.

La constancia de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_2} implica que la velocidad siempre es paralela al campo magnético. Puesto que la rapidez también permanece constante, se deduce que la velocidad permanece constante en módulo dirección y sentido

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\vec{v}_0 = \mathrm{cte}}

y el movimiento resultante es rectilíneo y uniforme en la dirección del campo magnético.

Caso P₁ = 0

En este caso no hay componente de la velocidad paralela al campo magnético. Esto corresponde a una velocidad inicial perpendicular al campo magnético.

La constancia de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_1} implica que la velocidad es siempre perpendicular a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}_0} . La aceleración también lo es. Por tanto, el producto vectorial de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} tiene siempre la dirección paralela al campo magnético, el vector binormal es constante y la trayectoria es plana.

Por otro lado, puesto que la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, la aceleración es normal en todo momento y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n = \frac{|q||\vec{v}\times\vec{B}|}{m} = \frac{|q|P_2}{m} = \frac{|q||\vec{v}_0\times\vec{B}_0|}{m} = \frac{|q|v_0B_0}{m}}

El radio de curvatura en cada instante será igual a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R = \frac{v^2}{a_n} = \frac{mv_0^2}{|q|v_0B_0} = \frac{mv_0}{|q|B_0}}

Este radio es constante y por tanto la carga describe un movimiento circular uniforme.

El valor del radio de la circunferencia, proporcional a la cantidad de movimiento de la partícula, se denomina radio de Larmor y es esencial en el descubrimiento de nuevas partículas. La velocidad angular de giro es, en módulo,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = \frac{v_0}{R} = \frac{|q|B_0}{m}}

Esta cantidad se conoce en física de partículas como frecuencia ciclotrón.

En el caso general en que ni Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_1} ni Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_2} sean nulas, el movimiento resultante es una combinación de los dos anteriores: un avance a velocidad constante en la dirección del campo magnético, acompañado de un giro uniforme alrededor de él, resultando un movimiento helicoidal.