Ver el código de «Partícula oscilando en parábola»

==Enunciado==

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Un punto material <math>P</math> se mueve en el plano <math>OXY</math> describiendo una trayectoria parabólica de ecuación <math>y^2 = (b^2/a) x</math>. Se sabe que la partícula se halla inicialmente en reposo en la posición <math>x=a</math>, <math>y=b</math>; y que la componente <math>y</math> de su aceleración verifica en todo instante la expresión: <math>a_y =-k^2 y</math> (con ''k'' = cte). Determine en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?
==Solución==
El movimiento de la partícula puede descomponerse en sus componentes cartesianas

<center><math>\vec{r}(t) = x(t)\vec{\imath}+y(t)\vec{\jmath}</math></center>

siendo la aceleración

<center><math>\vec{a}=\ddot{x}\vec{\imath}+\ddot{y}\vec{\jmath}</math></center>

En este caso conocemos la relación entre la componente vertical de la aceleración y la coordenada correspondiente

<center><math>\ddot{y}=-k^2y</math></center>

que nos dice que en la coordenada <math>y</math> experimenta un movimiento armónico simple, con solución

<center><math>y = A\cos(k t+\beta)\,</math></center>

Las constantes <math>A</math> y <math>\beta</math> las obtenemos de las condiciones iniciales. Sabemos que inicialmente la partícula se encuentra en <math>y=b</math> y su velocidad inicial es nula, por lo que

<center><math>b = y(0) = A\cos(\beta)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>0 = \dot{y}(0) = -Ak\,\mathrm{sen}(\beta)</math></center>

de donde

<center><math>\beta = 0\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>A=b\,</math></center>

y la coordenada y en cada instante es

<center><math>y(t) = b\cos(k t)\,</math></center>

La coordenada <math>x</math> la obtenemos de la ecuación de la parábola

<center><math>x(t) = \frac{a}{b^2}y^2(t) = a\cos^2(k t)</math></center>

Aplicando relaciones trigonométricas, queda

<center><math>x = \frac{a}{2}+\frac{a}{2}\cos(2kt)</math></center>

que nos dice, que la partícula también oscila armónicamente en la dirección horizontal, pero con frecuencia doble que en la vertical.

El vector de posición instantánea es

<center><math>\vec{r}(t) = a\cos^2(kt)\vec{\imath}+b\cos(k t)\vec{\jmath}</math></center>

A partir de la posición obtenemos la velocidad

<center><math>\vec{v}(t) = -2ak\cos(kt)\,\mathrm{sen}(kt)\vec{\imath}-bk\,\mathrm{sen}(kt)\vec{\jmath}</math></center>

Volvemos a derivar respecto al tiempo, para obtener la aceleración

<center><math>\vec{a}(t)=2ak^2\left(\mathrm{sen}^2(kt)-\cos^2(kt)\right)\vec{\imath}-bk^2\cos(kt)\vec{\jmath}</math></center>

La siguiente posición de reposo se alcanza cuando la velocidad vuelve a ser nula. Separando las componentes de la velocidad

<center><math>0 = \dot{x}=-2ak\cos(kt)\mathrm{sen}(kt)</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>0 = \dot{y}=-bk\mathrm{sen}(kt)</math></center>

Estas dos componentes se anulan para

<center><math>kt = \pi\qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{\pi}{k}</math></center>

y la posición en ese instante es

<center><math>\vec{r}(\pi/k) = a\vec{\imath}-b\vec{\jmath}</math></center>

que es la posición simétrica de la inicial respecto al eje de la parábola.

<center>
{| class="bordeado"
|-
! b=a
! b=3a
|-
| [[Archivo:particula-parabola-1.gif]]
| [[Archivo:particula-parabola-3.gif]]
|-
|}
</center>
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