Ver el código de «Partícula en alambre parabólico»

==Enunciado==
Una pequeña anilla de masa m está ensartada en un alambre de forma parabólica, situado en un plano vertical. Esta parábola tiene su vértice en <math>O(0,0,0)</math> y cuando la partícula se halla a una distancia <math>b</math> del eje, su altura es <math>(b/2)</math>, con <math>b</math> fijado. Este alambre parabólico se hace girar alrededor del eje con velocidad angular constante Ω. No hay rozamiento entre la anilla y el alambre
# Escriba las ecuaciones de vínculo para la posición de la anilla, en coordenadas cartesianas y en coordenadas cilíndricas. ¿De qué clase de vínculos se trata?
# Escriba las ecuaciones de vínculo en forma cinemática y en forma pfaffiana.
# Escriba las ecuaciones de movimiento para esta partícula, en cartesianas y en polares, incluyendo las fuerzas de reacción vincular necesarias.
==Ecuaciones de vínculo==
===Forma parabólica===
La parábola es de la forma, en cilíndricas 

<center><math>z= A \rho^2\,</math></center>

Si imponemos que pase por el punto <math>(b,b/2)</math> queda la ecuación

<center><math>z=\frac{\rho^2}{2b}</math></center>

Pasando a cartesianas 

<center><math>z=\frac{x^2+y^2}{2b}</math></center>

o, equivalentemente

<center><math>x^2+y^2-2bz=0\,</math></center>

Este es un vínculo geométrico, bilateral, esclerónomo, liso y holónomo.
===Rotación===
Al estar en rotación, se cumple, en cilíndricas,

<center><math>\theta=\Omega t\,</math></center>

lo que nos da las coordenadas cartesianas

<center><math>x=\rho\cos(\Omega t)\qquad\qquad y=\rho\,\mathrm{sen}(\Omega t)</math></center>

Eliminamos &rho; de estas ecuaciones y queda

<center><math>-x\,\mathrm{sen}(\Omega t)+y\cos(\Omega t)=0\,</math></center>

Este es un vínuclo geométrico, bilateral, reónomo, liso y holónomo.

==Vínculos en forma cinemática==
===Forma parabólica===
Derivando respecto al tiempo y dividiendo por 2 obtenemos la forma cinemática

<center><math>x\dot{x}+y\dot{y}-b\dot{z}=0</math></center>

y, multiplicando por <math>\mathrm{d}t</math> su forma pfaffiana

<center><math>x\,\mathrm{d}x+y\,\mathrm{d}y-2b\,\mathrm{d}z=0</math></center>

En cilíndricas partimos de

<center><math>\rho^2-2bz=0\,</math></center>

que da

<center><math>\rho\dot{\rho}-b\dot{z}=0\qquad\Rightarrow\qquad \rho\,\mathrm{d}\rho-b\,\mathrm{d}z=0</math></center>

===Rotación===
Derivando en la ecuación de vínculo

<center><math>-\dot{x}\,\mathrm{sen}(\Omega t)-x\Omega\cos(\Omega t)+\dot{y}\cos(\Omega t)-y\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)=0</math></center>

Multiplicamos por <math>\mathrm{d}t</math>

<center><math>-\mathrm{sen}(\Omega t)\,\mathrm{d}x+\cos(\Omega t)\,\mathrm{d}y-(x\cos(\Omega t)+y\,\mathrm{sen}(\Omega t))\mathrm{d}t=0</math></center>

En este caso, en cilíndricas queda claramente más simple

<center><math>\dot{\theta}-\Omega = 0 \qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}\theta-\Omega\,\mathrm{d}t=0</math></center>