Ver el código de «Parámetro arco de una hélice (G.I.A.)»

== Enunciado ==
Sea la hélice <math>\Gamma</math> descrita en un sistema de referencia cartesiano <math>OXYZ</math> por las siguientes ecuaciones paramétricas:
<center>
<math>
\Gamma\,:\,\vec{r} = \vec{r}(\lambda)
\left\{
  \begin{array}{l}
    x(\lambda) = a \cos\lambda\\
    y(\lambda) = a \,\mathrm{sen}\,\lambda\\
    z(\lambda) = h \lambda
  \end{array}
\right.
</math>
</center>
donde <math>a</math> y <math>h</math> son constantes conocidas.
#Determina la longitud recorrida sobre la hélice (parámetro arco) en función del parámetro <math>\lambda</math>.
#Obtén los vectores del triedro intrínseco en cada punto de dicha curva.
#Calcula su radio de curvatura.

== Solución ==

=== Distancia recorrida ===
Podemos calcular la distancia recorrida sobre la hélice sumando los módulos de los <math>\mathrm{d}\vec{r} </math> obtenidos al variar el parámetro una cantidad infinitesimal <math>\mathrm{d}\lambda </math>. La expresión de <math>\mathrm{d}\vec{r} </math> es
<center>
<math>
\mathrm{d}\vec{r} = \left(\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\lambda}\right)\,\mathrm{d}\lambda
</math>
</center>
Derivando el vector tenemos
<center>
<math>
\left(\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\lambda}\right) =
-a\cos\lambda\,\vec{\imath}
+
+a\,\mathrm{sen}\,\lambda\,\vec{\jmath}
+
h\,\vec{k}
</math>
</center>
La distancia recorrida en este paso infinitesimal es
<center>
<math>
\mathrm{d}s=|\mathrm{d}\vec{r}|=\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\lambda}\right| \,\mathrm{d}\lambda =
\mathrm{d}\lambda\,\sqrt{a^2\cos^2\lambda + a^2\mathrm{sen}^2\lambda + h^2}
=
\mathrm{d}\lambda\,\sqrt{a^2+h^2}
</math>
</center>
Si empezamos a contar la distancia recorrida en <math>\lambda=0 </math> la distancia para un valor de <math>\lambda </math> es
<center>
<math>
\int\limits_{0}^{s(\lambda)}\mathrm{d}s = 
\int\limits_{0}^{s(\lambda)}|\mathrm{d}\vec{r}| = 
\int\limits_0^{\lambda}\sqrt{a^2+h^2}\,\mathrm{d}\lambda
</math>
</center>
Integrando obtenemos
<center>
<math>
s(\lambda) = \lambda\,\sqrt{a^2+h^2}
</math>
</center>

La distancia recorrida sobre la curva recibe el nombre de parámetro arco. Puede utilizarse también para parametrizar la curva.

===Triedro intrínseco ===

Calculamos el triedro intrínseco en cada punto de la curva usando las expresiones que dependen sólo de la parametrización de la curva, no de las variables cinemáticas ( velocidad y aceleración ).

El vector tangente es
<center>
<math>
\overrightarrow{T}(\lambda) = \dfrac{\displaystyle\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\lambda}}{\displaystyle\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\lambda}\right|}
=
-\dfrac{a\,\mathrm{sen}\,\lambda}{\sqrt{a^2+h^2}}\,\vec{\imath}
+
\dfrac{a\cos\lambda}{\sqrt{a^2+h^2}}\,\vec{\jmath}
+
\dfrac{h}{\sqrt{a^2+h^2}}\,\vec{k}
</math>
</center>

El vector normal se define en términos de la derivada del vector tangente respecto al parámetro.
<center>
<math>
\overrightarrow{N}(\lambda) = \dfrac{\displaystyle\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}\lambda}}{\displaystyle\left|\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}\lambda}\right|}
</math>
</center>
Derivando el vector tangente 
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}\lambda}=
-\dfrac{a\cos\lambda}{\sqrt{a^2+h^2}}\,\vec{\imath}
-
\dfrac{a\,\mathrm{sen}\,\lambda}{\sqrt{a^2+h^2}}\,\vec{\jmath}
\dfrac{a}{\sqrt{a^2+h^2}}
=
\dfrac{a}{\sqrt{a^2+h^2}}
\left(-\cos\lambda\,\vec{\imath} - \mathrm{sen}\,\lambda\,\vec{\jmath}\right)
</math>
</center>
El módulo de este vector es
<center>
<math>
\left|\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}\lambda}\right|
=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+h^2}}
</math>
</center>
Y el vector normal es
<center>
<math>
\overrightarrow{N}(\lambda) = -\cos\lambda\,\vec{\imath} - \mathrm{sen}\,\lambda\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
El vector binormal se define como
<center>
<math>
\overrightarrow{B}(\lambda) = \overrightarrow{T}\times\overrightarrow{N}
=
\dfrac{h\,\mathrm{sen}\,\lambda}{\sqrt{a^2+h^2}}\,\vec{\imath}-
\dfrac{h\,\mathrm{cos}\,\lambda}{\sqrt{a^2+h^2}}\,\vec{\jmath}
+\dfrac{a}{\sqrt{a^2+h^2}}\,\vec{k}
</math>
</center>

=== Curvatura===
La curvatura es el módulo de la derivada del vector tangente, cuando este está expresado en términos del parámetro arco. Sin embargo, no tenemos el vector <math>\overrightarrow{T} </math> en términos del parámetro arco, sino del parámetro <math>\lambda </math>. Tenemos que usar la regla de la cadena para encontrar la derivada en función del parámetro natural.Esto es
<center>
<math>
\kappa = 
\left|
\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}s}
\right|
=
\left|
\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}\lambda}
\right|
\,\left|\dfrac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}s}
\right|
</math>
</center>
A partir de la última fórmula del primer apartado, podemos despejar <math>\lambda </math> a partir del parámetro arco
<center>
<math>
\lambda = \dfrac{s}{\sqrt{a^2+h^2}}
</math>
</center>
Y derivamos aquí
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}s}=
\dfrac{1}{\sqrt{a^2+h^2}}
</math>
</center>
Con lo cual la curvatura es
<center>
<math>
\kappa = 
\left|
\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}s}
\right|
=
\left|
\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}\lambda}
\right|
\,\left|\dfrac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}s}
\right|
=
\dfrac{a}{\sqrt{a^2+h^2}}\,
\dfrac{1}{\sqrt{a^2+h^2}}
=
\dfrac{a}{a^2+h^2}
</math>
</center>

El radio de curvatura es
<center>
<math>
R_{\kappa} = \dfrac{1}{\kappa} = \dfrac{{a^2+h^2}}{a}
</math>
</center>



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