Ver el código de «Onda viajera en una cuerda tensa (Nov. 2017 G.I.C.)»

= Enunciado =
Una onda viajera en una cuerda tensa está descrita por la
expresión
<center>
<math>
y(x,t) = 2.00\cos(12.57x - 638t),
</math>
</center>
donde <math>y</math> se mide en cm, <math>x</math> en m y <math>t</math> en s. La densidad lineal de masa de la
cuerda es <math>\mu=5.00\,\mathrm{g/cm}</math>. 
#¿Cuanto valen la longitud de onda y el período de la onda?
#¿Cuanto vale la tensión de la cuerda?
#¿Cual es el máximo valor de la velocidad de un punto de la cuerda?
#¿Cual es la potencia que transmite la onda?

= Solución =

== Análisis previo == 
El problema proporciona la función matemática de una onda viajera. En general, esta función puede escribirse como
<center>
<math>
y(x,t) = A\cos(kx\pm \omega t + \phi),
</math>
</center>
con el signo - para ondas que viajan en el sentido positivo del eje <math>X</math> y el signo + para las
que viajan en sentido contrario. Comparando con la función dada en el enunciado obtenemos los 
parámetros de la onda.

== Longitud de onda y período ==

El número de onda es
<center>
<math>
k = 12.57\,\mathrm{m^{-1}} .

</math>
</center>
La longitud de onda es
<center>
<math>
\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = 50.00\,\mathrm{cm}.
</math>
</center>
La frecuencia angular es
<center>
<math>
\omega = 638\,\mathrm{rad/s},
</math>
</center>
por lo que el período es
<center>
<math>
 T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 9.85\,\mathrm{ms} = 9.85\times 10^{-3}\,\mathrm{s}.
</math>
</center>

== Tensión de la cuerda ==
La velocidad de propagación de una onda en una cuerda tensa es
<center>
<math>
c = \sqrt{\dfrac{F_T}{\mu}}
</math>
</center>
siendo <math>F_T</math> la tensión de la cuerda y <math>\mu</math> la densidad lineal de masa. La 
velocidad de propagación de la onda es
<center>
<math>
c = \dfrac{\omega}{k} = 5.08\,\mathrm{m/s}.
</math>
</center>
La densidad lineal de masa es
<center>
<math>
\mu = 5.00\,\mathrm{\dfrac{g}{cm}} = 5\,\mathrm{\dfrac{g}{cm}\dfrac{1\,kg}{10^3\,g}\dfrac{10^2\,cm}{1\,m}}
= 0.500\,\mathrm{kg/m}.
</math>
</center>
Por tanto la tensión de la cuerda es
<center>
<math>
F_T = \mu c^2 = 12.9\,\mathrm{N}.
</math>
</center>

== Velocidad máxima de un punto de la cuerda ==

Una onda en una cuerda es transversal. Cada punto de la cuerda se mueve en la dirección perpendicular
a la dirección de propagación de la onda. La velocidad de cada punto de la cuerda es
<center>
<math>
v_y(x,t) = \dfrac{\partial y}{\partial t} = -A\omega\,\mathrm{sen}\,(kx-\omega t+\phi).
</math>
</center>
Entonces, el valor máximo de la velocidad es
<center>
<math>
v_y^{max} = A\omega = 12.8\,\mathrm{m/s}.
</math>
</center>

== Potencia que transmite la onda ==
La expresión de la potencia que transmite una onda en una cuerda es
<center>
<math>
P = \dfrac{1}{2}\mu A^2\omega^2 c = 207\,\mathrm{W}.
</math>
</center>


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