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==Enunciado==
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Considérese un péndulo simple, constituido por una partícula <math>P\,</math> (de masa <math>m\,</math>) que se halla suspendida de un punto fijo <math>O\,</math> mediante un hilo inextensible (de longitud <math>L\,</math> y masa despreciable). Bajo la acción de su propio peso, la partícula <math>P\,</math> oscila en el plano vertical fijo <math>OXY\,</math> (aceleración gravitatoria: <math>\vec{g}=g\,\vec{\imath}\,</math>). Se propone la coordenada acimutal <math>\theta\,</math> (definida en la figura) para describir la posición de la partícula <math>P\,</math>, así como la base polar <math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> para expresar las magnitudes vectoriales.

# De la segunda ley de Newton aplicada a la partícula <math>P\,</math> y proyectada sobre la dirección acimutal, deduzca la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\theta(t)\,</math>.
# Y de la misma ley, pero proyectada sobre la dirección radial, deduzca el módulo de la tensión del hilo.
# Deduzca una integral primera del movimiento de la partícula <math>P\,</math> aplicando algún teorema de conservación.

==Segunda ley de Newton: ecuación de movimiento y tensión del hilo==
Sobre la partícula <math>\,P\,</math> actúan dos fuerzas: una de naturaleza activa (su peso <math>\,m\vec{g}\,</math>) y otra de reacción vincular (la tensión <math>\,\overrightarrow{T}\,</math> ejercida por el hilo). La tensión <math>\,\overrightarrow{T}\,</math> tiene la dirección del propio hilo (dirección radial) y su sentido es atractivo hacia el extremo fijo <math>O\,</math> (vínculo unilateral). Las expresiones analíticas de las dos fuerzas en la base polar son las siguientes:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} m\vec{g}=mg\,\vec{\imath}=mg\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{u}_{\rho}-\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{u}_{\theta}\,] \\ \\ \overrightarrow{T}=-T\,\vec{u}_{\rho} \end{array}\right.
</math></center>
La aceleración de la partícula expresada en la base polar viene dada en general por:{{qquad}}
<math>
\,\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{\, 2})\,\vec{u}_{\rho}+(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,)\,\vec{u}_{\theta}
</math>
pero al particularizar para la trayectoria circular: {{qquad}} <math>\,\,\rho=L\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\rho}=0\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\ddot{\rho}=0\,</math>,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<math>
\vec{a}=-\,L\,\dot{\theta}^{\, 2}\,\vec{u}_{\rho}+L\,\ddot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}
</math>

Planteamos la segunda ley de Newton:{{qquad}} <math>m\vec{g}+\overrightarrow{T}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} y la proyectamos sobre las direcciones radial y acimutal, obteniendo dos ecuaciones escalares:
<center><math>
\left\{\begin{array}{l} mg\,\mathrm{cos}(\theta)-T=-\,m\,L\,\dot{\theta}^{\, 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ \\ 
-mg\,\mathrm{sen}(\theta)=m\,L\,\ddot{\theta}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2)
\end{array}\right.
</math></center>

La ecuación (2) nos permite obtener la ecuación diferencial de segundo orden que debe satisfacer la función <math>\,\theta(t)</math>:
<center><math>
\mathrm{(2)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,L\,\ddot{\theta}+g\,\mathrm{sen}(\theta)=0
</math></center>

El módulo <math>T\,</math> de la tensión que ejerce el hilo sobre la partícula se obtiene despejando en la ecuación (1):
<center><math>
\mathrm{(1)}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,T=m\,[L\,\dot{\theta}^{\, 2}+g\,\mathrm{cos}(\theta)]
</math></center>

==Integral primera del movimiento: deducción y expresión==
La tensión <math>\overrightarrow{T}\,</math> no trabaja sobre la partícula por ser siempre perpendicular a su desplazamiento (trayectoria circular). Así que la única fuerza que trabaja sobre la partícula (su peso) es conservativa, y por tanto se conserva constante en el tiempo su energía mecánica <math>E\,</math> (suma de su energía cinética <math>K\,</math> y su energía potencial <math>U\,</math>). Dicho de otro modo, el teorema de conservación de la energía mecánica nos permite deducir que <math>E\,</math> es una integral primera del movimiento de la partícula:
<center><math>E=K+U=\mathrm{cte}\,</math></center>

Abordemos ahora la tarea de expresar la energía mecánica como una función de <math>\,\theta\,</math> y <math>\,\dot{\theta}</math>. 

La velocidad de la partícula expresada en la base polar viene dada en general por:{{qquad}}
<center><math>
\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}
</math></center>

pero al particularizar para la trayectoria circular: {{qquad}} <math>\,\,\rho=L\,\,\mathrm{(cte)}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\dot{\rho}=0\,</math>,{{qquad}} queda:{{qquad}}
<math>
\vec{v}=L\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}
</math>

Así que la energía cinética de la partícula vale:
<center><math>
K=\frac{1}{2}\,m\,v^{\, 2}=\frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^{\, 2}
</math></center>

Por otra parte, la energía potencial de la partícula es su energía potencial gravitatoria <math>U_g\,</math>:
<center><math>
U=U_g=mg(-x)\,=-mgL\,\mathrm{cos}(\theta)
</math></center>
Obsérvese que la expresión propuesta para <math>U_g\,</math> corresponde a tomar el origen de energía potencial en <math>\,x=0\,\,</math>, siendo <math>(-x)\,</math> la altura de la partícula respecto a dicho origen (nótese que el eje OX apunta hacia abajo).

La suma de energía cinética y energía potencial nos da como resultado la energía mecánica de la partícula:  
<center><math>
E(\theta,\dot{\theta})=K+U=\frac{1}{2}\,mL^2\dot{\theta}^{\, 2}\!-mgL\,\mathrm{cos}(\theta)=\mathrm{cte}
</math></center>

Desde un punto de vista matemático, la integral primera que acabamos de obtener nos proporciona una ecuación diferencial de primer orden que debe ser satisfecha por la función <math>\,\theta(t)</math>:
<center><math>
L\dot{\theta}^{\, 2}\!-2g\,\mathrm{cos}(\theta)=\mathrm{cte}
</math></center>
Puede comprobarse que, derivando respecto al tiempo esta ecuación diferencial de primer orden (y simplificando), se llega a la ecuación diferencial de segundo orden que se obtuvo a partir de la segunda ley de Newton en el apartado anterior.

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