Ver el código de «No Boletín - Péndulo cónico (Ex.Ene/13)»

==Enunciado==
[[Archivo:pendulo-conico.png|right]]

Se denomina péndulo cónico a un péndulo simple cuya masa puntual, en lugar de oscilar en un plano vertical, realiza un movimiento circular uniforme en un plano horizontal (ver figura). Considere que la masa puntual es <math>m\,</math>, la longitud del péndulo es <math>L\,</math>, el ángulo que forma el hilo con la vertical es <math>\theta\,</math> y la gravedad es <math>g\,</math>.

# ¿Con qué celeridad se mueve la masa puntual?
# ¿Cuál es el módulo de la tensión del hilo?

==Solución==
[[Archivo:pendulo-conico-sol.png|right]]

La masa puntual describe con celeridad constante <math>v\,</math> (movimiento uniforme) una circunferencia de radio:
<center><math>
R=L\,\mathrm{sen}(\theta)
</math></center>
y lo hace bajo la acción de dos fuerzas: el peso <math>m\vec{g}\,</math> y la tensión ejercida por el hilo <math>\vec{\Phi}\,</math>.

Para expresar las magnitudes vectoriales, utilizaremos el triedro intrínseco <math>\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}\,</math> de la circunferencia.

El peso es una fuerza activa y, como tal, es conocida a priori:
<center><math>
m\vec{g}=-mg\,\vec{B}
</math></center>
Sin embargo, la tensión del hilo es una fuerza de reacción vincular, de módulo <math>\Phi\,</math> en principio desconocido, con dirección a lo largo del hilo y sentido hacia el punto de suspensión del hilo:
<center><math>
\vec{\Phi}=\Phi[\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{N}+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{B}\,]
</math></center>

Dado que la masa puntual describe un movimiento circular uniforme, sabemos que su aceleración sólo va a tener componente normal:
<center><math>
\left.\begin{array}{l} a_t=\displaystyle\frac{dv}{dt}=0 \\ \\ a_n=\displaystyle\frac{v^2}{R}=\frac{v^2}{L\,\mathrm{sen}(\theta)} \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{a}=a_t\,\vec{T}+a_n\,\vec{N}=\displaystyle\frac{v^2}{L\,\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{N}
</math></center>

Aplicando la segunda ley de Newton, y separando componentes, se llega al siguiente sistema de ecuaciones (para las incógnitas <math>v\,</math> y <math>\Phi\,</math>):
<center><math>
m\vec{g}+\vec{\Phi}=m\vec{a}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \Phi\,\mathrm{sen}(\theta)=m\displaystyle\frac{v^2}{L\,\mathrm{sen}(\theta)} \\ \\ -mg+\Phi\,\mathrm{cos}(\theta)=0 \end{array}\right.
</math></center>
Resolviendo el sistema, obtenemos los valores de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula y del módulo <math>\Phi\,</math> de la tensión del hilo:
<center><math>
v=\mathrm{sen}(\theta)\sqrt{\frac{gL}{\mathrm{cos}(\theta)}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\Phi=\frac{mg}{\mathrm{cos}(\theta)}
</math></center>

[[Categoría:Problemas de Dinámica del Punto (GITI)]]