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==Enunciado==
En el triedro cartesiano <math>OXYZ\,</math>, una partícula <math>P\,</math> se mueve conforme a la ecuación horaria:
<center><math>
\overrightarrow{OP}\equiv\vec{r}(t)=A\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\mathrm{cos}(\omega t)
\,\vec{\jmath}+A\,\mathrm{cos}^2(\omega t)\,\vec{k}
</math></center>
donde <math>A\,</math> y <math>\omega\,</math> son constantes conocidas.

# ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
# ¿Con qué tipo de movimiento es recorrida dicha trayectoria?

==Solución==
Esta cuestión se resuelve rápidamente si se utilizan las relaciones trigonométricas:
<center><math>
\mathrm{sen}(\omega t)\,\mathrm{cos}(\omega t)=\frac{\mathrm{sen}(2\omega t)}{2}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\mathrm{cos}^2(\omega t)=\frac{1+\mathrm{cos}(2\omega t)}{2}
</math></center>
que permiten reescribir la ecuación horaria de la partícula <math>P\,</math> como:
<center><math>
\overrightarrow{OP}\equiv\vec{r}(t)=\frac{A}{2}\,\vec{k}+\left[\frac{A}{2}\,\mathrm{sen}(2\omega t)\,\vec{\jmath}+\frac{A}{2}\,\mathrm{cos}(2\omega t)\,\vec{k}\,\right]
</math></center>

[[Archivo:circun-sol.png|right]]

Así escrita, la ecuación horaria es fácilmente reconocible como la del movimiento sobre una circunferencia contenida en el plano <math>OYZ\,</math>, con centro en el punto <math>C(0,0,A/2)\,</math>, con radio <math>R=A/2\,</math>, y con ecuación vectorial <math>\theta\,</math>-paramétrica:
<center><math>
\overrightarrow{OP}\equiv\vec{r}(\theta)=\frac{A}{2}\,\vec{k}+\left[\frac{A}{2}\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}+\frac{A}{2}\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{k}\,\right]
</math></center>
donde <math>\theta\,</math> es el ángulo formado por el vector <math>\overrightarrow{CP}\,</math> y el eje <math>OZ\,</math> (ver figura), y varía conforme a la ley horaria:
<center><math>
\theta(t)=2\omega t\,
</math></center>

La trayectoria es, por tanto, una circunferencia; y el tipo de movimiento con que se recorre ésta es un movimiento uniforme, ya que la celeridad <math>v\,</math> de la partícula es constante en el tiempo:
<center><math>
\dot{\theta}=2\,\omega=\mathrm{cte}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, v=R\,\dot{\theta}=\frac{A}{2}\,2\,\omega=\omega A=\mathrm{cte}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{movimiento}\,\,\mathrm{uniforme}
</math></center>

==Solución alternativa==
Un procedimiento alternativo menos directo consiste en ir analizando las características geométricas y cinemáticas del movimiento propuesto hasta lograr responder las preguntas formuladas.

Derivando el vector de posición de la partícula respecto al tiempo, obtenemos el vector velocidad:
<center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\omega A\left\{\left[\mathrm{cos}^2(\omega t)-\mathrm{sen}^2(\omega t)\,\right]\vec{\jmath}-2\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{k}\,\right\}=\omega A\left[\mathrm{cos}(2\omega t)\,\vec{\jmath}-\mathrm{sen}(2\omega t)\,\vec{k}\,\right]
</math></center>

Y tomando el módulo de la velocidad, calculamos la celeridad:
<center><math>
v=|\vec{v}\,|=\omega A\sqrt{\mbox{cos}^2(2\omega t)+\mbox{sen}^2(2\omega t)}=\omega A=\mathrm{cte}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{movimiento}\,\,\mathrm{uniforme}</math></center>

Al ser la celeridad de la partícula constante, deducimos que se trata de un movimiento uniforme.

Derivando respecto al tiempo el vector velocidad, obtenemos el vector aceleración:
<center><math>
\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-2\omega^2\! A\left[\mathrm{sen}(2\omega t)\,\vec{\jmath}+\mathrm{cos}(2\omega t)\,\vec{k}\,\right]
</math></center>

Al tratarse de un movimiento uniforme, la aceleración tangencial es nula:
<center><math>
a_t=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(\omega A)}{\mathrm{d}t}=0
</math></center>
y entonces la aceleración normal (siempre positiva) coincide con el módulo del vector aceleración:
<center><math>
\vec{a}_t=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\vec{a}_n=\vec{a}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\, a_n=|\,\vec{a}\,|=2\,\omega^2 A 
</math></center>

Obtenemos el vector tangente a la trayectoria como un vector unitario en la dirección de la velocidad:
<center><math>
\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}\,|}=\mathrm{cos}(2\omega t)\,\vec{\jmath}-\mathrm{sen}(2\omega t)\,\vec{k}
</math></center>

Dado que sabemos que toda la aceleración es normal (no existe componente tangencial), obtenemos el vector normal principal simplemente normalizando el vector aceleración:
<center><math>
\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}=\frac{\vec{a}}{|\,\vec{a}\,|}=-\,\mathrm{sen}(2\omega t)\,\vec{\jmath}-\,\mathrm{cos}(2\omega t)\,\vec{k} 
</math></center>

Ahora hallamos el vector binormal como producto vectorial del vector tangente y el vector normal principal:
<center><math>
\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & \mathrm{cos}(2\omega t) & -\,\mathrm{sen}(2\omega t) \\ 0 & -\,\mathrm{sen}(2\omega t) & -\,\mathrm{cos}(2\omega t) \end{array}\right|=-\,\vec{\imath}=\overrightarrow{\mathrm{cte}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{trayectoria}\,\,\mathrm{plana}
</math></center>

Vemos que resulta un vector binormal constante, lo cual implica que la trayectoria de la partícula es plana.

Hallamos el radio de curvatura a partir de la celeridad y la aceleración normal:
<center><math>
R_{\kappa} = \frac{v^2}{a_n} = \frac{\omega^2 A^2}{2\,\omega^2 A}=\frac{A}{2}=\mathrm{cte}</math></center>

Observamos que el radio de curvatura resulta ser constante.

Dado que la trayectoria es plana y tiene radio de curvatura constante, llegamos a la conclusión de que se trata de una circunferencia. 

Las dos preguntas del enunciado quedan, pues, respondidas si decimos que la partícula describe un movimiento circular uniforme.

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