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==Enunciado==
Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.
==Solución==
[[Archivo:diagonales-rombo.png|right]]

Sean ABCD los vértices del rombo. Se verifica que, por ser un paralelogramo

<center><math>\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\,;</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}</math></center>

y por sus lados de la misma longitud

<center><math>\left|\overrightarrow{AB}\right| = \left|\overrightarrow{BC}\right|</math></center>

Las diagonales del rombo vienen dadas por los vectores
<center>
<math>\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}</math>{{qquad}}y{{qquad}}<math>\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}</math></center>

Multiplicando escalarmente estos dos vectores

<center><math>\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} = \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}\right)</math></center>

Desarrollando la suma por diferencia

<center><math>\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} =\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC} -\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=\left|\overrightarrow{BC}\right|^2-\left|\overrightarrow{AB}\right|^2</math></center>

y, por la igualdad entre las longitudes de los lados

<center><math>\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} =\left|\overrightarrow{BC}\right|^2-\left|\overrightarrow{AB}\right|^2=0</math></center>

Por tanto, las diagonales son ortogonales.


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