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==Enunciado==
[[Archivo:cono.png|right]]
Un cono recto (sólido "2"), con un semiángulo de <math>\pi/6\,\,\mathrm{rad}\,</math> en el vértice, rueda sin deslizar sobre el plano horizontal <math>OX_1Y_1\,</math> del triedro fijo <math>OX_1Y_1Z_1\,</math> (sólido "1"),
manteniendo su vértice fijo en el punto <math>O\,</math> y teniendo en cada instante una generatriz <math>OG\,</math> en contacto con el citado plano horizontal. Se define un triedro auxiliar móvil <math>OX_0Y_0Z_0\,</math> (sólido "0"), cuyo eje <math>OZ_0\,</math> coincide con el eje <math>OZ_1\,</math>, y cuyo plano <math>OX_0Z_0\,</math> contiene siempre al centro <math>C\,</math> de la base del cono y, por tanto, contiene también al eje de simetría <math>OZ_2\,</math> del cono. Se conoce como dato que <math>\vec{\omega}_{01}(t)=
\Omega\,\vec{k}_1\,</math> (siendo <math>\Omega\,</math> una constante positiva). Sea <math>\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0, \vec{k}_0\}\,</math> la base ortonormal asociada al triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math>.

# ¿Cuál es el EIR del movimiento <math>\{21\}</math>?
# Determine la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}\,</math>.
# Determine la aceleración angular <math>\vec{\alpha}_{21}\,</math>.

==Ejes de rotación de los movimientos {21}, {01} y {20}==
Aunque sólo se pide el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{21\}\,</math>, conviene determinar también los ejes de rotación de los movimientos <math>\{01\}\,</math> y <math>\{20\}\,</math>.

Se nos dice que el cono (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el plano horizontal <math>OX_1Y_1\,</math> (sólido "1"). La condición de no deslizamiento implica la nulidad de las velocidades instantáneas <math>\{21\}\,</math> de todos los puntos de la generatriz de contacto entre el cono y el plano <math>OX_1Y_1\,</math> (generatriz <math>OG\,</math>), lo que a su vez conlleva la pertenencia de dicha generatriz al eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{21\}\,</math>. Así pues, el eje instantáneo de rotación del movimiento <math>\{21\}\,</math> coincide con el eje <math>OX_0\,</math>:
<center><math>\mathrm{E.I.R.}\{21\}\equiv OX_0\,</math></center>
tratándose de un eje instantáneo (y no permanente) de rotación al ser un eje móvil respecto al observador "1".

Dado que el eje <math>OZ_0</math> (sólido "0") es coincidente con el eje <math>OZ_1</math> (sólido "1"), es obvio que todos sus puntos están en reposo permanente en el movimiento <math>\{01\}\,</math> y constituyen el eje permanente de rotación del movimiento <math>\{01\}\,</math>:
<center><math>\mathrm{E.P.R.}\{01\}\equiv OZ_1\,</math></center>
tratándose de un eje permanente de rotación al ser un eje fijo respecto al observador "1".

Por último, se observa que el eje de simetria <math>OZ_2\,</math> del cono (sólido "2") ocupa una posición fija en el triedro <math>OX_0Y_0Z_0\,</math> (sólido "0"), de modo que todos sus puntos se hallan en reposo permanente en el movimiento <math>\{20\}\,</math> y constituyen el eje permanente de rotación del movimiento <math>\{20\}\,</math>:
<center><math>\mathrm{E.P.R.}\{20\}\equiv OZ_2\,</math></center>
tratándose de un eje permanente de rotación al ser un eje fijo respecto al observador "0".

==Velocidad angular del movimiento {20}==
Aunque sólo se pide la velocidad angular del movimiento <math>\{20\}\,</math>, sin apenas esfuerzo adicional obtendremos también la velocidad angular del movimiento <math>\{21\}\,</math>.

Se conoce como dato la velocidad angular del movimiento <math>\{01\}\,</math>:
<center><math>\vec{\omega}_{01}(t)=
\Omega\,\vec{k}_1=\Omega\,\vec{k}_0\,</math></center>
Por otra parte, sabemos que la velocidad angular de cada movimiento tiene necesariamente la dirección del eje de rotación de dicho movimiento. Por tanto:
<center><math>\begin{array}{lll}\mathrm{E.I.R.}\{21\}\equiv OX_0 & \,\,\,\longrightarrow\,\,\, & \vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \mathrm{E.P.R.}\{20\}\equiv OZ_2 & \,\,\,\longrightarrow\,\,\, & \vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}_2=\omega_{20}\,\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\vec{\imath}_0+\frac{1}{2}\,\vec{k}_0\right) \end{array}</math></center>
Exigiendo el cumplimiento de la ley de composición de velocidades angulares y separando componentes en la base "0", se obtiene un sistema de dos ecuaciones para las incógnitas <math>\omega_{21}\,</math> y <math>\omega_{20}\,</math>:
<center><math>\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \omega_{21}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,\omega_{20} \\ \\ 0=\displaystyle\frac{1}{2}\,\omega_{20}+\Omega \end{array}\right.</math></center>
Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtienen las siguientes soluciones:
<center><math>\begin{array}{lll}\omega_{20}=-2\,\Omega & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{\omega}_{20}=-\Omega\,(\sqrt{3}\,\vec{\imath}_0\,+\,\vec{k}_0) \\ \\ \omega_{21}=-\sqrt{3}\,\Omega & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{\omega}_{21}=-\sqrt{3}\,\Omega\,\vec{\imath}_0 \end{array}</math></center>

==Aceleración angular del movimiento {21}==
Calculamos primero, mediante su definición, las aceleraciones angulares de los movimientos <math>\{01\}\,</math> y <math>\{20\}\,</math>:
<center><math>
\vec{\alpha}_{01}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\alpha}_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0}
</math></center>
y, a continuación, determinamos la aceleración angular del movimiento <math>\{21\}\,</math> mediante la ley de composición de aceleraciones angulares:
<center><math>
\vec{\alpha}_{21}=\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}\,+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\displaystyle =\vec{0}}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times\,\vec{\omega}_{20}=\Omega\,\vec{k}_0\,\times\,[-\Omega\,(\sqrt{3}\,\vec{\imath}_0\,+\,\vec{k}_0)]=
-\sqrt{3}\,\Omega^2\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

También se puede calcular la aceleración angular del movimiento <math>\{21\}\,</math> derivando respecto al tiempo la velocidad angular del movimiento <math>\{21\}\,</math>:
<center><math>
\vec{\alpha}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\underbrace{\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_0}_{\displaystyle =\vec{0}}\,+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\,\vec{\omega}_{21}=\Omega\,\vec{k}_0\times[-\sqrt{3}\,\Omega\,\vec{\imath}_0]=-\sqrt{3}\,\Omega^2\,\vec{\jmath}_0
</math></center>

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