Ver el código de «Movimiento sometido a viento lateral»

==Enunciado==
Un proyectil sobrevuela un plano horizontal sometido a la acción de la gravedad y de un viento horizontal que es más intenso a medida que el proyectil se aleja del suelo. Por ello, su aceleración es de la forma
<center><math>\vec{a}=Ay\vec{\imath}-g\vec{\jmath}</math></center>
con ''A'' una constante e ''y'' la altura instantánea del proyectil respecto al suelo. El proyectil se lanza verticalmente con velocidad inicial <math>\vec{v}_0=v_0 \vec{\jmath}</math> desde el punto <math>\vec{r}_0 =0</math>. 
Si tomamos <math>g=9.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math> , <math>v_0=9.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}</math> y <math>A=2\,\mathrm{s}^{-2}</math>, calcule:
# Las ecuaciones horarias <math>x(t)</math>, <math>y(t)</math> (sugerencia: considere primero una componente y luego la otra).
# La posición del punto de máxima altura.
# Para el punto de máxima altura calcule la aceleración tangencial y la normal (escalares y vectoriales).
# La posición del punto de impacto con el suelo. 
# Para el punto de impacto calcule la aceleración tangencial y la normal (escalares y vectoriales)

==Ecuaciones horarias==
En lo que sigue se usará en todas las magnitudes las unidades fundamentales del sistema internacional.

Separamos por componentes la ecuación <math>\ddot{\vec{r}}=\vec{a}</math> y resultan las ecuaciones

<center><math>\ddot{x}=Ay=2y\qquad\qquad \ddot{y}=-g=-9.6</math></center>

Con las condiciones iniciales

<center><math>x_0=0\qquad\qquad y_0=0\qquad\qquad v_{x0}=0\qquad\qquad v_{y0}=v_0=9.6</math></center>

Para integrar la primera ecuación necesitamos conocer y(t). Por ello debemos integrar en primer lugar la segunda ecuación

<center><math>\ddot{y}=-9.6</math></center>

Integramos una vez

<center><math>\dot{y}=v_{y0}+\int_0^t(-g)\mathrm{d}t=v_0-gt=9.6-9.6t</math></center>

y una segunda vez

<center><math>y=y_0+\int_0^t(9.6 - 9.6 t)\mathrm{d}t=9.6 t - 4.8t^2</math></center>

Una vez que tenemos <math>y(t)</math>, y no antes, podemos hallar x(t), ya que la aceleración horizontal vale

<center><math>\ddot{x}=2y = 19.2 t -9.6t^2</math></center>

Integramos una vez

<center><math>\dot{x}=v_{x0}+\int_0^t a_x\mathrm{d}t=9.6 t^2-3.2t^3</math></center>

y una segunda vez

<center><math>x(t)=x_0+\int_0^t v\mathrm{d}t=3.2 t^3-0.8t^4</math></center>

Tenemos, por tanto, las ecuaciones horarias

<center><math>\begin{array}{rcl}
x&=&3.2t^3-0.8t^4 \\
y&=&9.6t-4.8t^2
\end{array}</math></center>

==Punto de máxima altura==
Para localizar el punto de máxima altura primero calculamos el instante en el que esto ocurre, que corresponde a que la velocidad vertical sea nula.

<center><math>v_y=9.6-9.6t_m=0\qquad\Rightarrow\qquad t_m =1\,\mathrm{s}</math></center>

y una vez que tenemos este instante calculamos la posición sustituyendo

<center><math>x(t_m) = 3.2\cdot 1-0.8\cdot 1 = 2.4\,\mathrm{m}\qquad\qquad y(t_m) = 9.6\cdot 1-4.8 \cdot 1^2 = 4.8\,\mathrm{m}</math></center>

En forma vectorial

<center><math>\vec{r}_m=(2.4\vec{\imath}+4.8\vec{\jmath})\,\mathrm{m}</math></center>

==Aceleración tangencial y normal==
La aceleración en cada instante es de la forma, en <math>\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>

<center><math>\vec{a}=Ay\vec{\imath}-g\vec{\jmath}=2(9.6t-4.8t^2)\vec{\imath}-9.6 \vec{\jmath}=(19.2t-9.6t^2)\vec{\imath}-9.6\vec{\jmath}</math></center>

y, en el instante de máxima altura

<center><math>\vec{a}(t_m)=9.6\vec{\imath}-9.6\vec{\jmath}</math></center>

En el punto de máxima altura la velocidad es puramente horizontal (ya que justamente en ese punto se anula la componente vertical de la velocidad), es decir, 

<center><math>\vec{T}=\vec{\imath}</math></center>

Por tanto, la componente tangencial de la aceleración es la que va en la dirección horizontal y la normal la que va en la dirección vertical, 

<center><math>\vec{a}_t = 9.6\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{a}_n=-9.6\vec{\jmath}</math></center>

En forma escalar tenemos

<center><math>a_t= 9.6\qquad\qquad a_n = 9.6</math></center>

ya que la aceleración normal es siempre positiva. Esto nos da el vector normal

<center><math>\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}=-\vec{\jmath}</math></center>

==Punto de impacto==
El punto de impacto es aquel en que y vuelve a ser nula

<center><math>0=9.6t-4.8t^2 \qquad\Rightarrow\qquad t_i= 2\,\mathrm{s}</math></center>

El valor de x en ese instante es

<center><math>x=3.2\times 2^3-0.8\times 2^4 = 12.8\,\mathrm{m}</math></center>

==Aceleración en el punto de impacto==
La velocidad en el instante de impacto es

<center><math>\vec{v}(2)=(9.6\times 2^2-3.2\times 2^3)\vec{\imath}+(8.6-9.6\times 2)\vec{\jmath}=12.8\vec{\imath}-9.6\vec{\jmath}</math></center>

siendo la rapidez

<center><math>\left|\vec{v}\right| = \sqrt{12.8^2+9.6^2}=16.0</math></center>

y el vector tangente

<center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=0.80\vec{\imath}-0.60\vec{\jmath}</math></center>

La aceleración en este momento es

<center><math>\vec{a}(2)=-9.6\vec{\jmath}</math></center>

Esto nos da la aceleración tangencial (escalar)

<center><math>a_t=\vec{a}\cdot\vec{T}=5.76</math></center>

y, en forma vectorial,

<center><math>\vec{a}_t=a_t\vec{T} = 4.608\vec{\imath}-3.456\vec{\jmath}</math></center>

La aceleración normal la obtenemos restando

<center><math>\vec{a}_n=\vec{a}-\vec{a}_t=-4.608\vec{\imath}-6.144\vec{\jmath}</math></center>

siendo su valor escalar

<center><math>a_n=\left|\vec{a}_n\right|=7.68</math></center>