Enunciado
Un proyectil sobrevuela un plano horizontal sometido a la acción de la gravedad y de un viento horizontal que es más intenso a medida que el proyectil se aleja del suelo. Por ello, su aceleración es de la forma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=Ay\vec{\imath}-g\vec{\jmath}}
con A una constante e y la altura instantánea del proyectil respecto al suelo. El proyectil se lanza verticalmente con velocidad inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_0=v_0 \vec{\jmath}}
desde el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_0 =0}
.
Si tomamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g=9.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2}
, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0=9.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A=2\,\mathrm{s}^{-2}}
, calcule:
- Las ecuaciones horarias Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t)}
, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(t)}
(sugerencia: considere primero una componente y luego la otra).
- La posición del punto de máxima altura.
- Para el punto de máxima altura calcule la aceleración tangencial y la normal (escalares y vectoriales).
- La posición del punto de impacto con el suelo.
- Para el punto de impacto calcule la aceleración tangencial y la normal (escalares y vectoriales)
Ecuaciones horarias
En lo que sigue se usará en todas las magnitudes las unidades fundamentales del sistema internacional.
Separamos por componentes la ecuación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\vec{r}}=\vec{a}}
y resultan las ecuaciones
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x}=Ay=2y\qquad\qquad \ddot{y}=-g=-9.6}
Con las condiciones iniciales
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0=0\qquad\qquad y_0=0\qquad\qquad v_{x0}=0\qquad\qquad v_{y0}=v_0=9.6}
Para integrar la primera ecuación necesitamos conocer y(t). Por ello debemos integrar en primer lugar la segunda ecuación
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{y}=-9.6}
Integramos una vez
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{y}=v_{y0}+\int_0^t(-g)\mathrm{d}t=v_0-gt=9.6-9.6t}
y una segunda vez
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=y_0+\int_0^t(9.6 - 9.6 t)\mathrm{d}t=9.6 t - 4.8t^2}
Una vez que tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(t)}
, y no antes, podemos hallar x(t), ya que la aceleración horizontal vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x}=2y = 19.2 t -9.6t^2}
Integramos una vez
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x}=v_{x0}+\int_0^t a_x\mathrm{d}t=9.6 t^2-3.2t^3}
y una segunda vez
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t)=x_0+\int_0^t v\mathrm{d}t=3.2 t^3-0.8t^4}
Tenemos, por tanto, las ecuaciones horarias
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{rcl} x&=&3.2t^3-0.8t^4 \\ y&=&9.6t-4.8t^2 \end{array}}
Punto de máxima altura
Para localizar el punto de máxima altura primero calculamos el instante en el que esto ocurre, que corresponde a que la velocidad vertical sea nula.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_y=9.6-9.6t_m=0\qquad\Rightarrow\qquad t_m =1\,\mathrm{s}}
y una vez que tenemos este instante calculamos la posición sustituyendo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t_m) = 3.2\cdot 1-0.8\cdot 1 = 2.4\,\mathrm{m}\qquad\qquad y(t_m) = 9.6\cdot 1-4.8 \cdot 1^2 = 4.8\,\mathrm{m}}
En forma vectorial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_m=(2.4\vec{\imath}+4.8\vec{\jmath})\,\mathrm{m}}
Aceleración tangencial y normal
La aceleración en cada instante es de la forma, en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{m}/\mathrm{s}^2}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=Ay\vec{\imath}-g\vec{\jmath}=2(9.6t-4.8t^2)\vec{\imath}-9.6 \vec{\jmath}=(19.2t-9.6t^2)\vec{\imath}-9.6\vec{\jmath}}
y, en el instante de máxima altura
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(t_m)=9.6\vec{\imath}-9.6\vec{\jmath}}
En el punto de máxima altura la velocidad es puramente horizontal (ya que justamente en ese punto se anula la componente vertical de la velocidad), es decir,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}=\vec{\imath}}
Por tanto, la componente tangencial de la aceleración es la que va en la dirección horizontal y la normal la que va en la dirección vertical,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_t = 9.6\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{a}_n=-9.6\vec{\jmath}}
En forma escalar tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t= 9.6\qquad\qquad a_n = 9.6}
ya que la aceleración normal es siempre positiva. Esto nos da el vector normal
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}=-\vec{\jmath}}
Punto de impacto
El punto de impacto es aquel en que y vuelve a ser nula
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0=9.6t-4.8t^2 \qquad\Rightarrow\qquad t_i= 2\,\mathrm{s}}
El valor de x en ese instante es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=3.2\times 2^3-0.8\times 2^4 = 12.8\,\mathrm{m}}
Aceleración en el punto de impacto
La velocidad en el instante de impacto es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(2)=(9.6\times 2^2-3.2\times 2^3)\vec{\imath}+(8.6-9.6\times 2)\vec{\jmath}=12.8\vec{\imath}-9.6\vec{\jmath}}
siendo la rapidez
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y el vector tangente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=0.80\vec{\imath}-0.60\vec{\jmath}}
La aceleración en este momento es
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Esto nos da la aceleración tangencial (escalar)
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y, en forma vectorial,
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La aceleración normal la obtenemos restando
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siendo su valor escalar
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n=\left|\vec{a}_n\right|=7.68}
