Ver el código de «Movimiento instantáneo de barras articuladas (Dic. 2020)»

= Enunciado =
[[Archivo:MRGIC-barrasCir-enunciado.png | right ]]
Una barra delgada (sólido “0”), de longitud  <math>\sqrt{2}d</math>, está articulada en un punto fijo <math>O</math> y rota en el plano fijo <math>OX_1Y_1</math>. Otra barra delgada (sólido “2”) de la misma longitud se articula en su punto <math>B</math> en en el extremo de la barra “0”. El punto <math>A</math> de la barra “2” desliza sobre el eje <math>OY_1</math> con una velocidad <math>v_0</math> . Los cálculos que se piden a continuación corresponden al instante indicado en la figura. En ese instante las dos barras son perpendiculares.
#Determina gráfica y analíticamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21}
#Calcula una reducción cinemática de esos movimientos.
#Si la velocidad absoluta del punto <math>A</math> es constante en el tiempo, calcula las derivadas temporales de esas reducciones cinemáticas.

= Solución =

== Análisis del enunciado ==
De la lectura atenta del enunciado se deducen los siguientes datos cinemáticos:
#Todos los vectores rotación son perpendiculares al plano <math>OX_1Y_1</math> pues se trata de un movimiento plano. Esto es: <math>\vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\,\vec{k}</math>, <math>\vec{\omega}_{20} = \omega_{20}\,\vec{k}</math>, <math>\vec{\omega}_{01} = \omega_{01}\,\vec{k}</math>.
#<math>\vec{v}^{\,O}_{01}=\vec{0}</math>, pues la barra "0" está articulada en el punto fijo <math>O</math>. 
#<math>\vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0}</math>, pues las barras "0" y "2" están articuladas en el punto común <math>B</math>.
#<math>\vec{v}^{\,A}_{21}=v_0\,\vec{\jmath}_1</math> pues el punto <math>A</math> de la barra “2” desliza sobre el eje <math>OY_1</math> con una velocidad <math>v_0</math>.

== Posición de los C.I.R. ==
[[Archivo:MRGIC-barrasCir-CIRs.png |right ]]
Del análisis anterior se deduce inmediatamente 
<center>
<math>
I_{01} \equiv O, \qquad I_{20} \equiv B.
</math>
</center>
Para encontrar <math>I_{21}</math> razonamos como sigue. El punto <math>I_{21}</math> debe estar en la línea perpendicular a <math>\vec{v}^{\,A}_{21}</math> trazada por <math>A</math>. Y el Teorema de los Tres Centros nos dice que debe estar en la línea definida por <math>\{I_{01}, I_{20}\}</math>. El punto de corte está indicado en la figura.

Los vectores de posición en la base del sólido "1" son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{OI}_{01} = \vec{0}, \\
\overrightarrow{OI}_{20} = \overrightarrow{OB} = 
\sqrt{2}d\,(\cos(\pi/4)\,\vec{\imath}_1 + \mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{\jmath}_1) =
d\,\vec{\imath}_1 + d\,\vec{\jmath}_1,\\
\overrightarrow{OI}_{21} =
2\sqrt{2}d\,(\cos(\pi/4)\,\vec{\imath}_1 + \mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{\jmath}_1) =
2d\,\vec{\imath}_1 + 2d\,\vec{\jmath}_1,
\end{array}
</math>
</center>

== Reducciones cinemáticas ==
Hay varias formas de hacer este apartado. 
Lo mas sencillo es empezar utilizando la posición del <math>I_{21}</math>. Aplicando Chasles para el movimiento {21}
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,I_{21}}_{21} +\vec{\omega}_{21}\times \overrightarrow{I_{21}A}
=
(\omega_{21}\,\vec{k})\times(-2d\,\vec{\imath}_1) = 
2\omega_{21}d\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Comparando con <math>\vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\jmath}_1</math> obtenemos la reducción cinemática en <math>A</math> del movimiento {21}
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = -\dfrac{v_0}{2d}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Ahora podemos seguir utlizando la composición {21} en <math>A</math>
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{20} + \vec{v}^{\,A}_{01}
</math>
</center>
Ahora aplicamos Chasles en los movimientos {20} y {01}
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{v}^{\,B}_{20} + \vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{BA}
= (\omega_{20}\,\vec{k})\times (-d\,\vec{\imath}_1+d\,\vec{\jmath}_1) = -\omega_{20}d\,\vec{\imath}_1 - \omega_{20}d\,\vec{\jmath}_1, \\
\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}
= (\omega_{01}\,\vec{k})\times (2d\,\vec{\jmath}_1) = -2\omega_{01}d\,\vec{\imath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Por tanto
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{21} =
-d\,(\omega_{20} + 2\omega_{01})\,\vec{\imath}_1 - \omega_{20}d\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Comparando con <math>\vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\jmath}_1</math> obtenemos
<center>
<math>
\omega_{20} = -v_0/d, \qquad \omega_{01} = v_0/2d.
</math>
</center>
Por lo que las dos reducciones cinemáticas que faltan son
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
\vec{\omega}_{01} = \dfrac{v_0}{2d}\,\vec{k}, &\quad & \vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0},\\
\\
\vec{\omega}_{20} = -\dfrac{v_0}{d}\,\vec{k}, &\quad &\vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0}.
\end{array}
</math>
</center>
 
== Derivadas temporales de las reducciones cinemáticas ==

Al ser un movimiento plano tenemos también <math>\vec{\alpha}_{21} = \alpha_{21}\,\vec{k}</math>, <math>\vec{\alpha}_{20} = \alpha_{20}\,\vec{k}</math>, <math>\vec{\alpha}_{01} = \alpha_{01}\,\vec{k}</math>.

También hay varias formas de hacer este apartado. Proponemos una de ellas.

Como el enunciado dice que <math>v_0</math> es constante tenemos <math>\vec{a}^{\,A}_{21}=\vec{0}</math>. Por otro lado los C.I.R. de los movimientos {20} y {01} están siempre en los mismos puntos de los sólidos. Entonces
<center>
<math>
\vec{a}^{\,A}_{21}=\vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,B}_{20}=\vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,O}_{01}=\vec{0}.
</math>
</center>
Ahora usamos la composición {21}= {20} + {01} en <math>B</math>
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{a}^{\,B}_{21}  = \vec{a}^{\,B}_{20} + \vec{a}^{\,B}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,B}_{20}= \left(\dfrac{v_0^2}{4d} - \alpha_{01}d\right)\,\vec{\imath}_1 + \left(\dfrac{v_0^2}{4d} + \alpha_{01}d\right)\,\vec{\jmath}_1.\\
\qquad \vec{a}^{\,B}_{20} = \vec{0},\\
\qquad \vec{a}^{\,B}_{01} = \vec{a}^{\,0}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OB} - |\vec{\omega}_{01}|^2\,\overrightarrow{OB} = \left(\dfrac{v_0^2}{4d} - \alpha_{01}d\right)\,\vec{\imath}_1 + \left(\dfrac{v_0^2}{4d} + \alpha_{01}d\right)\,\vec{\jmath}_1. \\
\qquad\qquad \vec{a}^{\,O}_{01} = \vec{0}, \\
\qquad \qquad \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OB} = (\alpha_{01}\,\vec{k})\times(d\,\vec{\imath}_1 + d\,\vec{\jmath}_1) = -\alpha_{01}d\,\vec{\imath}_1 + \alpha_{01}d\,\vec{\jmath}_1, \\
\qquad\qquad |\vec{\omega}_{01}|^2\,\overrightarrow{OB} = \dfrac{v_0^2}{4d}\,(\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1).\\
\qquad\vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0}.
\end{array}
</math>
</center>
Por otro lado , usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} partiendo desde <math>A</math>
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{a}^{\,A}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{AB} - |\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{AB}  = \left( \dfrac{v_0^2}{4d} + \alpha_{21}d\right)\,\vec{\imath}_1 + \left(-\dfrac{v_0^2}{4d} + \alpha_{21}d\right)\,\vec{\jmath}_1.\\
\qquad \vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{0}. \\
\qquad \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{AB} = (\alpha_{21}\,\vec{k})\times(d\,\vec{\imath}_1 - d\,\vec{\jmath}_1) = \alpha_{21} d\,\vec{\imath}_1 + \alpha_{21}d\,\vec{\jmath}_1,\\
\qquad |\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{AB} = \dfrac{v_0^2}{4d}\,(\vec{\imath}_1 - \vec{\jmath}_1).
\end{array}
</math>
</center>
Comparando las dos expresiones de <math>\vec{a}^{\,B}_{21}</math> obtenemos
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} = -\dfrac{v_0^2}{4d^2}\,\vec{k}, \qquad
\vec{\alpha}_{01} = \dfrac{v_0^2}{4d^2}\,\vec{k}
</math>
</center>
Y ahora usamos la ley de composición
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
\to
 \vec{\alpha}_{20}  =  \vec{\alpha}_{21}  -  \vec{\alpha}_{01} - \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
=
-\dfrac{v_0^2}{2d^2}\,\vec{k}.
</math>
</center>
Las derivadas de las reducciones cinemáticas son
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{\alpha}_{21} = -(v_0^2/4d)\,\vec{k}, &\qquad \vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{0},\\
\vec{\alpha}_{20} = -(v_0^2/2d)\,\vec{k}, &\qquad \vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{0},\\
\vec{\alpha}_{01} = (v_0^2/4d)\,\vec{k},& \qquad \vec{a}^{\,O}_{21} = \vec{0}.
\end{array}
</math>
</center>

== Errores habituales detectados en la corrección ==
#Cuando se pide encontrar analíticamente los C.I.R. quiere decir dar su vector de posición.
#No se pueden derivar los vectores rotación obtenidos en el segundo apartado. Esos valores corresponden a un instante de tiempo. Para derivar una función tienes que conocer su expresión en un intervalo de tiempo.
#Hay gente que, para expresar el Teorema de los Tres Centros, ha escrito <math>I_{21} = I_{20} + I_{01}</math>. Esta expresión no tiene sentido.

[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]
[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]