Ver el código de «Movimiento en espiral descrito en polares (Ex.Nov/11)»

==Enunciado==
Una partícula recorre una espiral logarítmica, estando su posición en cada instante de tiempo descrita en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

<center><math>\rho(t)=\rho_0e^{-\omega t}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,
\theta(t)=\omega t\,</math></center>

donde <math>\rho_0\,</math> y <math>\omega\,</math> son constantes conocidas.

# Calcule el vector velocidad y la rapidez del movimiento.
# Halle el vector aceleración y sus componentes intrínsecas.
# Calcule el radio de curvatura.

==Vector velocidad y rapidez del movimiento==

La velocidad en componentes polares viene dada por la expresión

<center><math>\vec{v} = \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}</math></center>

Calculamos, por tanto, las primeras derivadas respecto al tiempo de las ecuaciones horarias

<center><math>\dot{\rho}=-\omega\rho_0 e^{-\omega t}=-\omega\rho</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\dot{\theta}=\omega</math></center>

y sustituimos

<center><math>\vec{v} = -\omega\rho\,\vec{u}_{\rho}+\omega\rho\,\vec{u}_{\theta}</math></center>

Tomando módulo del vector velocidad, obtenemos la rapidez del movimiento

<center><math>v = |\vec{v}\,|=\sqrt{2}\,\omega\rho</math></center>

==Vector aceleración y sus componentes intrínsecas==

La aceleración en componentes polares viene dada por la expresión

<center><math>\vec{a} = \left(\ddot{\rho}-\rho\,{\dot{\theta}}^2\right)\,\vec{u}_{\rho}+\left(2\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,\right)\,\vec{u}_{\theta}</math></center>

Necesitamos también, por tanto, las segundas derivadas respecto al tiempo de las ecuaciones horarias

<center><math>\ddot{\rho}=\omega^{2}\! \rho_0 e^{-\omega t}=\omega^{2}\! \rho</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>\ddot{\theta}=0</math></center>

y sustituyendo y operando

<center><math>\vec{a} = -2\,\omega^{2}\!\rho\,\vec{u}_{\theta}</math></center>

Para calcular la componente tangencial de la aceleración tenemos dos posibilidades: proyectar el vector aceleración sobre la dirección del vector velocidad (dirección tangente a la trayectoria), o bien derivar respecto al tiempo la rapidez previamente calculada:

<center><math>a_t=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{v}=\frac{-2\omega^3\!\rho^2}{\sqrt{2}\,\omega\rho}=-\sqrt{2}\,\omega^2\!\rho</math>{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}<math>a_t=\dot{v}=\sqrt{2}\,\omega\dot{\rho}=-\sqrt{2}\,\omega^2\!\rho</math></center>  

Y entonces, la componente normal de la aceleración (siempre positiva) la podemos determinar a partir de:

<center><math>a_n=\sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2}=\sqrt{4\,\omega^4\rho^2-2\,\omega^4\rho^2}=\sqrt{2\,\omega^4\rho^2}=\sqrt{2}\,\omega^2\!\rho</math></center>

==Radio de curvatura==

El radio de curvatura se puede calcular a partir del conocimiento de la componente normal de la aceleración y de la rapidez del movimiento:

<center><math>R_{\kappa}=\frac{v^{2}}{a_n}=\frac{2\,\omega^{2}\rho^2}{\sqrt{2}\,\omega^{2}\rho}=\sqrt{2}\,\rho</math></center>

[[Categoría:Problemas de Cinemática del Punto (GITI)|9]]