Ver el código de «Movimiento de partícula sujeta de un hilo»

==Enunciado==

[[Archivo:particula-polea.png|right]]

Una barra rígida <math>AB</math> de longitud <math>L</math> se mueve en un plano vertical <math>OXY</math>, manteniendo su extremo <math>A</math> articulado en un punto del eje horizontal de coordenadas <math>\overrightarrow{OA}= L \vec{\imath}</math>, y verificando la ley horaria <math>\theta(t) = 2\omega t</math>, con <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> y siendo <math>\omega =</math> cte. Un hilo inextensible de longitud <math>2L</math> tiene uno de sus extremos conectado al origen del sistema de referencia (punto <math>O</math>), mientras que del otro cuelga una partícula <math>P</math> que mantiene al hilo siempre tenso. El hilo se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo <math>B</math> de la barra, de forma que el tramo <math>\overline{BP}</math> permanece siempre paralelo al eje <math>OY</math> (ver figura). Se pide:

# Ecuaciones horarias del punto <math>P</math>, <math>\overrightarrow{OP} = \vec{r}(t) =x(t) \vec{\imath} + y(t) \vec{\jmath}</math>.
# Instante del tiempo <math>t_M</math> en que la partícula alcanza su altura máxima. 
# Radio de curvatura de la trayectoria seguida por <math>P</math>, en el instante considerado en el apartado anterior.

==Ecuaciones horarias==
[[Archivo:particula-polea-2.gif|right]]

La posición del punto P puede escribirse como suma de tres vectores

<center><math>\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}</math></center>

donde

<center><math>\overrightarrow{OA}=L\vec{\imath}</math></center>

y

<center><math>\overrightarrow{AB}=L\cos(\theta)\vec{\imath}+L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}</math></center>

El vector <math>\overrightarrow{BP}</math> es vertical hacia abajo y con un módulo igual a

<center><math>|\overrightarrow{BP}| = 2L-|\overrightarrow{OB}|</math></center>

siendo

<center><math>|\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}| = \sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2+|\overrightarrow{AB}|^2+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}}=\sqrt{L^2+L^2+2L^2\cos(\theta)} = 2L\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)</math></center>

Por tanto

<center><math>\overrightarrow{BP}=-2L\left(1-\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)\vec{\jmath}</math></center>

y el vector de posición buscado es

<center><math>\vec{r}(\theta)=\overrightarrow{OP} = L\left(1+\cos(\theta)\right)\vec{\imath}+L\left(\mathrm{sen}(\theta)-2+2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)\vec{\jmath}</math></center>

En función del tiempo quedan las ecuaciones horarias

<center><math>\vec{r}(t) = L\left(1+\cos(2\omega t)\right)\vec{\imath}+L\left(\mathrm{sen}(2\omega t)-2+2\cos\left(\omega t\right)\right)\vec{\jmath}</math></center>

==Instante de máxima altura==
[[Archivo:particula-polea-vectores.png|right]]

El instante de máxima altura se alcanza en el momento en que la componente vertical de la velocidad se anula.

La velocidad en cada instante es

<center><math>\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=2L\omega\left[-\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\imath}+\left(\cos(2\omega t)-\mathrm{sen}(\omega t)\right)\vec{\jmath}\,\right]</math></center>

La componente <math>y</math> se anula cuando

<center><math>0 = \cos(2\omega t)-\mathrm{sen}(\omega t) = \mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}-2\omega t\right)-\mathrm{sen}(\omega t)</math>{{tose}}<math>\frac{\pi}{2}-2\omega t = \omega t</math>{{tose}}<math>t = \frac{\pi}{6\omega}</math></center>

Esto es, la máxima altura se alcanza cuando la barra forma un ángulo de &pi;/3 = 60&deg; con la horizontal.

==Radio de curvatura==
Para el radio de curvatura necesitamos la aceleración en ese instante. Derivando de nuevo

<center><math>\vec{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-2L\omega^2\left[2\cos(2\omega t)\vec{\imath}+\left(2\,\mathrm{sen}(2\omega t)+\cos(\omega t)\right)\vec{\jmath}\,\right]</math></center>

En el instante de máxima altura, la aceleración vale

<center><math>\vec{a}(\pi/6\omega)=-2L\omega^2\left(2\frac{1}{2}\vec{\imath}+\left(2\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\vec{\jmath}\right) = -L\omega^2\left(2\vec{\imath}+3\sqrt{3}\vec{\jmath}\right)</math></center>

La velocidad en ese mismo instante es

<center><math>\vec{v}(\pi/6\omega) = -\sqrt{3}L\omega\vec{\imath}</math></center>

Puesto que la velocidad es puramente horizontal, la aceleración normal es la componente vertical

<center><math>a_n = 3\sqrt{3}L\omega^2</math></center>

Esto nos da el radio de curvatura

<center><math>R = \frac{v^2}{a_n}=\frac{3L^2\omega^2}{3L\omega^2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}L</math></center>

[[Categoría:Problemas de Cinemática del Punto (GITI)]]