Ver el código de «Masa en plano inclinado con muelle (Nov. 2018 G.I.C.)»

= Enunciado =
[[File:F1GIC-masa-plano-muelle-enunciado.png|right|250px]]
Una masa m está conectada a un muelle de constante elástica k
y longitud natural nula. La masa puede deslizarse por un plano
inclinado como se indica en la figura. El muelle se mantiene siem-
pre paralelo a la superficie del plano inclinado. La gravedad actúa
como se indica en el dibujo.
#Si el contacto entre la masa y el plano es liso, ¿para que valor de x la masa está en equilibrio?
#Teniendo en cuenta ahora el rozamiento y suponiendo que <math>mg=\sqrt{2}kL</math>, ¿cuál es el rango de posiciones de equilibrio?

= Solución =

== Fuerzas sobre la masa ==
[[File:F1GIC-masa-plano-muelle-fuerzas.png|right|200px]]
La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la masa: su peso, la fuerza del muelle, la normal del plano y la fuerza de rozamiento. El sentido de todas es conocido, salvo la de rozamiento. La expresión de estas fuerzas es
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{P} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}mg\,\vec{\imath} -\dfrac{1}{\sqrt{2}}mg\,\vec{\jmath},\\
\\
\vec{F}_k = -k\overrightarrow{OA} = -kx\,\vec{\imath},\\
\\
\vec{N} = N\,\vec{\jmath},\\
\\
\vec{F}_R = f\,\vec{\imath}.
\end{array}
</math></center>
Como el vínculo impuesto por el plano inclinado es bilateral debe cumplirse <math>N>0</math>. 

== Equilibrio sin rozamiento ==
Si suponemos que no hay rozamiento la condición de equilibrio es
<center><math>
\vec{P} + \vec{F}_k + \vec{N}=\vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclcl}
X) & \to & \dfrac{1}{\sqrt{2}}mg - kx = 0 & \to & x = \dfrac{mg}{\sqrt{2}k},\\
\\
Y) & \to & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}mg + N = 0 & \to & N = \dfrac{1}{\sqrt{2}}mg.
\end{array}
\right.
</math></center>

== Equilibrio con rozamiento ==
Si suponemos que ahora hay rozamiento, y ademas imponemos que <math>mg=\sqrt{2}kL</math>, la condición de equilibrio es
<center><math>
\vec{P} + \vec{F}_k + \vec{N} + \vec{F}_R=\vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lcl}
X) & \to & kL - kx + f = 0,,
\\
Y) & \to & -kL + N = 0.
\end{array}
\right.
</math></center>
De la primera expresión obtenemos que, para que haya equilibrio, la fuerza de rozamiento y la fuerza normal del plano deben valer
<center><math>
\vec{N} = kL\,\vec{\jmath},
\qquad\qquad
\vec{F}_R = k(x-L)\,\vec{\imath}.
</math></center>
Para que el equilibrio sea posible el módulo de la fuerza de rozamiento debe ser menor que el valor máximo posible
<center><math>
|\vec{F}_R| \leq \mu |\vec{N}|,
</math></center>
siendo <math>\mu</math> el coeficiente de rozamiento estático. Hemos de considerar dos situaciones

<math>x>L</math>

En este caso el módulo de la fuerza de rozamiento es
<center><math>
|\vec{F}_R| = k|x-L| = k(x-L) \leq \mu kL 
\Longrightarrow
x\leq L\,(1+\mu).
</math></center>

<math>x<L</math>

En este caso el módulo de la fuerza de rozamiento es
<center><math>
|\vec{F}_R| = k|x-L| = k(L-x) \leq \mu kL 
\Longrightarrow
x\geq L\,(1-\mu).
</math></center>
Por tanto, para que el equilibrio sea posible debe ocurrir
<center><math>
x\in [L(1-\mu), \, L(1+\mu)].
</math></center>


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