Ver el código de «Masa colgando de dos cuerdas (GIC)»

= Enunciado = 
[[File:F1_GIC_masa_dos_cuerdas.png|right]]
Una masa <math>m</math> cuelga del conjunto de cuerdas ideales sin masas como se indica en la figura. Los datos del problema son las longitudes <math>a</math> y <math>b</math> y el ángulo <math>\alpha</math>. Si el sistema está en equilibrio, determina la tensión en las tres cuerdas.

= Solución =
 
== Diagrama de fuerzas ==
La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la masa y sobre el punto <math>A</math>. Escogemos las direcciones de los ejes <math>X</math> e <math>Y</math> como se indica en la figura. Las fuerzas sobre la masa son
[[File:F1_GIC_masa_dos_cuerdas_fuerzas.png|right|300px]]
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{P} = -mg\,\vec{\jmath},\\
\\
\vec{T}_m = T_m\,\vec{\jmath}.
\end{array}
</math>
</center>
Las fuerzas sobre el punto <math>A</math> son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{T}_A = -T_m\,\vec{\jmath},\\
\\
\vec{T}_B = T_B\,(\cos\beta\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}),\\
\\
\vec{T}_C = T_C\,(-\cos\alpha\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}).
\end{array}
</math>
</center>
Para escribir <math>\vec{T}_A</math> hemos usado que en una cuerda sin masa la tensión es la misma en todos los puntos de la cuerda. Por tanto <math>\vec{T}_A = -\vec{T}_m</math>.

Hay 3 incógnitas en las expresiones de las fuerzas: <math>\{T_m, T_B, T_C\}</math>. El ángulo <math>\beta</math> no es una incógnita, pues puede calcularse a partir del ángulo <math>\alpha</math> y las longitudes de los lados <math>a</math> y <math>b</math>, como vemos a continuación.

== Resolución del triángulo ==
Utilizando el teorema del seno obtenemos el ángulo <math>\beta</math>
<center>
<math>
\dfrac{c}{\mathrm{sen}\,\alpha} = \dfrac{b}{\mathrm{sen}\,\beta}
\Longrightarrow
\mathrm{sen}\,\beta = \dfrac{b}{c}\,\mathrm{sen}\,\alpha
</math>
</center>
Y usando el teorema del coseno obtenemos <math>c</math>
<center>
<math>
c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha}.
</math>
</center>
Entonces el ángulo <math>\beta </math> vale
<center>
<math>
\beta = \mathrm{arcsen}\,\left(\dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha}}\,\mathrm{sen}\,\alpha\right)
</math>
</center>
En lo que sigue usaremos <math>\beta</math>, sabiendo que si queremos calcular su valor hemos de usar esta expresión

== Eqquilibrio ==
Para que la masa esté en equilibrio debe cumplirse
<center>
<math>
\vec{P} + \vec{T}_A = \vec{0}
\Longrightarrow
T_m = mg
</math>
</center>
Hemos sustituido las expresiones de las fuerzas para obtener este valor.

Para obtener la condición de equilibrio de las fuerzas en <math>A</math> imaginamos que situamos en ese punto una masa muy pequeña <math>m_a</math>. La condición de equilibrio sería
<center>
<math>
m_a\vec{g} + \vec{T}_A + \vec{T}_B + \vec{T}_C = \vec{0}.
</math>
</center>
Ahora hacemos el límite <math>m_A\to 0</math>. Entonces la condición de equilibrio queda
<center>
<math>
\vec{T}_A + \vec{T}_B + \vec{T}_C = \vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & T_B\cos\beta - T_C\cos\alpha = 0, & (1)\\
&&\\
Y) & \to & T_B\,\mathrm{sen}\,\beta + T_C\,\mathrm{sen}\,\alpha= T_m = mg. & (2)
\end{array}
\right.
</math>
</center>
Para resolver este sistema, donde las incógnitas son <math>T_B</math> y <math>T_C</math> operamos como sigue. Multiplicamos la ecuación (1) por<math>\mathrm{sen}\,\alpha </math> y la ecuación (2) por <math>cos\alpha</math> y las sumamos
<center>
<math>
(1)\,\mathrm{sen}\,\alpha + (2)\cos\alpha 
\to
T_B(\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\beta + \mathrm{sen}\,\beta\cos\alpha) = mg\cos\alpha.
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
T_B = \dfrac{mg\cos\alpha}{\mathrm{sen}\,\alpha\cos\beta + \mathrm{sen}\,\beta\cos\alpha}
=
\dfrac{mg\cos\alpha}{\mathrm{sen}\,(\alpha+\beta)}
</math>
</center>
Sustituyendo en (1) tenemos
<center>
<math>
T_C 
=
\dfrac{mg\cos\beta}{\mathrm{sen}\,(\alpha+\beta)}
</math>
</center>
[[Categoría:Dinámica del punto material|1]]