Ver el código de «Fuerzas y momentos sobre un par de cargas»

==Enunciado==
{{nivel|2}} Dos cargas <math>q_1=+q</math> y <math>q_2=-q</math> se encuentran en los extremos de una varilla que se encuentra inmersa en el campo eléctrico
<center><math>\vec{E}=Ay\vec{\imath}+Bx^2 \vec{\jmath}</math></center>
* Si los extremos de la varilla se encuentran en <math>\vec{r}_1=b\vec{\imath}</math> y <math>\vec{r}_2=-b\vec{\imath}</math>, ¿cuál es el efecto del campo sobre el sistema?
* Si los extremos de la varilla se encuentran en <math>\vec{r}_1=b\vec{\jmath}</math> y <math>\vec{r}_2=-b\vec{\jmath}</math>, ¿cuál es el efecto del campo sobre el sistema?

==Primer caso==
Cada carga experimenta una fuerza dada por

<center><math>\vec{F}_i=q_i \vec{E}(\vec{r}_i)</math></center>

pero, dado que ambas cargas están unidas por una varilla, forman parte de un sólido rígido, sometido a un sistema de fuerzas. En ese caso tendremos una fuerza resultante y un momento resultante en cada caso.

En la primera configuración una de las cargas se encuentra en el punto <math>\vec{r}_1=b\vec{\imath}</math>, es decir, sus coordenadas son

<center><math>x_1=b\qquad\qquad y_1 = 0</math></center>

y, por tanto, la fuerza que actúa sobre ella es

<center><math>\vec{F}_1=q_1 \vec{E}(\vec{r}_1)= q(A\cdot 0\vec{\imath}+ B b^2 \vec{\jmath})=qB b^2\vec{\jmath}</math></center>

De la misma manera, la fuerza sobre la segunda carga es

<center><math>\vec{F}_2=q_2 \vec{E}(\vec{r}_2)= (-q)(A\cdot 0\vec{\imath}+ B (-b)^2 \vec{\jmath})=-qB b^2\vec{\jmath}</math></center>

Podemos visualizar esto haciendo un mapa de la distribución del campo en cada punto del plano OXY y la fuerza sobre cada carga en este caso.

<center>[[Archivo:2cargas-campo-01.png|500px]]</center>

La resultante de este sistema de fuerzas es

<center><math>\vec{F}=qB b^2\vec{\jmath}-qB b^2\vec{\jmath}=\vec{0}</math></center>

El momento resultante respecto al origen de coordenadas, que también es el CM del sistema, vale

<center><math>\vec{M}_O=\vec{r}_1\times \vec{F}_1+\vec{r}_2\times \vec{F}_2=(b\vec{\imath})\times(qB b^2\vec{\jmath})+(-b\vec{\imath})\times(-qB b^2\vec{\jmath})=2qBb^3 \vec{k}</math></center>

La varilla, por tanto, no experimenta fuerza neta pero sí un par que la hace girar.

==Segundo caso==
En el segundo caso solo cambian las posiciones de las dos cargas. la carga <math>q_1</math> se halla ahora en <math>\vec{r}_1=b\vec{\jmath}</math>, es decir, sus coordenadas son

<center><math>x_1=0\qquad\qquad y_1=b</math></center>

La fuerza sobre la carga 1 es ahora

<center><math>\vec{F}_1=q_1 \vec{E}(\vec{r}_1)= q(A b \vec{\imath}+ B\cdot 0 \vec{\jmath})=qA b\vec{\imath}</math></center>

y sobre la carga 2

<center><math>\vec{F}_2=q_2 \vec{E}(\vec{r}_2)= (-q)(-A b \vec{\imath}+ B\cdot 0 \vec{\jmath})=qA b\vec{\imath}</math></center>

En este caso resultan dos fuerzas iguales en el mismo sentido

<center>[[Archivo:2cargas-campo-02.png|500px]]</center>

La fuerza resultante es ahora 

<center><math>\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2=qA b\vec{\imath}+qA b\vec{\imath}=2qA b\vec{\imath}</math></center>

mientrs que el momento resultante se anula

<center><math>\vec{M}_O=\vec{r}_1\times \vec{F}_1+\vec{r}_2\times \vec{F}_2=(b\vec{\jmath})\times(qA b\vec{\imath})+(-b\vec{\imath})\times(qA b\vec{\imath})=\vec{0}</math></center>

En este caso la varilla tiende a desplazarse pero no a girar.