Ver el código de «Dos rodillos unidos por un resorte (CMR)»

==Enunciado==
Se tiene un sistema de dos rodillos (“2” y “3”) de la misma masa m y el mismo radio R, situados sobre una superficie horizontal (sólido 1), sobre la que pueden rodar sin deslizar. Los dos rodillos no son idénticos. El “2” es un cilindro macizo homogéneo (<math>\gamma=1/2</math>), mientras que el “3” tiene su masa concentrada en la superficie cilíndrica (<math>\gamma=1</math>). Los dos rodillos están conectados por un resorte de constante k y longitud natural <math>\ell_0</math>. Todo el sistema está sometido a la acción del peso.
<center>[[Archivo:dos-rodillos-muelle.png|800px]]</center>
Estando en reposo en una posición de equilibrio, se sujeta el cilindro 2 y se desplaza el 3 una cierta distancia A, manteniéndolos en reposo. Entonces se sueltan los dos.
# Halle la lagrangiana de este sistema, empleando como coordenadas generalizadas las posiciones <math>x_2</math> y <math>x_3</math> de las centros de los rodillos, medidas respecto a un sistema fijo.
# Halle las ecuaciones de movimiento para las posiciones de los centros de los rodillos, esto es, halle <math>\ddot{x}_2</math> y <math>\ddot{x}_3</math> en función de las posiciones <math>x_2</math> y <math>x_3</math>.
Si en lugar de <math>x_2</math> y <math>x_3</math> se emplean como coordenadas <math>x_2</math> y <math>x</math>, definida x como la longitud del resorte menos su longitud en el equilibrio
<ol start="3">
<li>¿Cómo queda la lagrangiana en función de <math>x_2</math> y <math>x</math>?</li>
<li>¿Y las ecuaciones de movimiento para estas coordenadas?</li>
<li>¿Cuál es la frecuencia de oscilación del resorte?</li>
<li>¿Y la posición de cada masa como función del tiempo?</li>
<li>¿Qué constantes de movimiento existen en este problema?</li>
</ol>

==Lagrangiana==
Para cada rodillo
<center><math>T=\frac{1}{2}m|\vec{v}_G|^2+\frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}(\gamma m R^2)\left(-\frac{\dot{x}}{R}\right)^2=\frac{1}{2}(1+\gamma)m\dot{x}^2</math></center>

por lo que la energía cinética total es

<center><math>T=\frac{3}{4}m\dot{x}_2^2+m\dot{x}^2_3</math></center>

La energía potencial es la de un resorte

<center><math>U=\frac{1}{2}k(x_3-x_2-\ell_0)^2</math></center>

y la lagrangiana

<center><math>\mathcal{L}=\frac{m}{4}(3\dot{x}_2^2+4\dot{x}_3^2)-\frac{k}{2}(x_3-x_2-\ell_0)^2</math></center>
==Ecuaciones de movimiento==
Aplicando las ecuaciones de Lagrange

<center><math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial {q}_k}=0</math></center>

queda

<center><math>\begin{array}{rcl}
\dfrac{3}{2}m\ddot{x}_2-k(x_3-x_2-\ell_0)&=&0 \\&& \\
2m\ddot{x}_3+k(x_3-x_2-\ell_0)&=&0 
\end{array}</math></center>

y, despejando,

<center><math>\begin{array}{rcl}
\ddot{x}_2&=&\dfrac{2k}{3m}(x_3-x_2-\ell_0) \\ && \\
\ddot{x}_3&=&-\dfrac{k}{2m}(x_3-x_2-\ell_0)
\end{array}</math></center>
==Nueva lagrangiana==
Con el cambio de variable

<center><math>\left\{\begin{array}{rcl}x_2&=&x_2 \\ x_3&=&x_2+\ell_0+x\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl}\dot{x}_2&=&\dot{x}_2 \\ \dot{x}_3&=&\dot{x}_2+\dot{x}\end{array}\right.</math></center>

queda

<center><math>\mathcal{L}=\frac{m}{4}(3\dot{x}_2^2+4(\dot{x}_2+\dot{x})^2)-\frac{k}{2}x^2</math></center>
==Nuevas ecuaciones de movimiento==
Aplicando de nuevo las ecuaciones de Lagrange

<center><math>\begin{array}{rcl}
\dfrac{1}{2}m(7\ddot{x}_2+4\ddot{x})&=&0 \\ && \\
2m(\ddot{x}_2+\ddot{x})+kx&=&0 
\end{array}</math></center>

Resolviendo el sistema de ecuaciones para las aceleraciones

<center><math>\begin{array}{rcl}
\ddot{x}_2&=&\dfrac{2k}{3m}x \\ && \\
\ddot{x}&=&-\dfrac{7k}{6m}x
\end{array}</math></center>
==Frecuencia de oscilación==
La ecuación para x es la de un oscilador armónico de frecuencia

<center><math>\omega=\sqrt{\frac{7k}{6m}}</math></center>
==Posiciones de las masas==
Las posiciones iniciales son, del enunciado,

<center><math>x_{20}=0\qquad\qquad x_0=A</math></center>

por lo que la solucín para la elongación del muelle es

<center><math>x=A\cos(\omega t)\,</math></center>

y de aquí sale para <math>x_2</math>

<center><math>\ddot{x}_2=\frac{2k}{3m}A\cos(\omega t)</math></center>

Integrando dos veces y aplicando la condición inicial

<center><math>x=\frac{4A}{7}(1-\cos(\omega t))</math></center>

==Constantes de movimiento==
En este sistema tenemos dos constantes de movimiento.

* El momento conjugado a la variable <math>x_2</math> que es cíclica

<center><math>p_2=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{x}_2}=\frac{7}{2}m\dot{x}_2+2m\dot{x}</math></center>

:Esta cantidad es similar a la cantidad de movimiento del sistema, pero no lo es.

* La hamiltoniana, pues la lagrangiana no depende del tiempo. En este caso, la hamiltoniana coincide con la energía mecánica

<center><math>\mathcal{H}=\frac{m}{4}(3\dot{x}_2^2+4(\dot{x}_2+\dot{x})^2)+\frac{k}{2}x^2=\frac{m}{4}(3\dot{x}_2^2+4\dot{x}_3^2)+\frac{k}{2}(x_3-x_2-\ell_0)^2</math></center>