Ver el código de «Disco sostenido por una armadura»

==Enunciado==
[[Imagen:F1_GIC_disco_armadura.png|right]]
Un disco liso de radio <math>R</math> y cuyo peso vale <math>P</math>, está sostenido según se indica en la figura por la armadura <math>M</math> de peso despreciable. El punto <math>A</math> de dicha armadura se halla conectado a un muro vertical mediante un cojinete de sustentación y empuje sin rozamiento (par de revolución liso), siendo <math>h = 3R/2</math> la distancia que separa sendas rectas horizontales que pasan por <math>A</math> y por el centro del disco <math>O</math>. Se pide:
#Hallar las reacciones que el cojinete ejerce sobre la armadura en el punto A.
#Hallar las reacciones ejercidas sobre el cilindro en los puntos de contacto B, C y D.

==Solución==

===Reacción sobre la armadura en el punto <math>A</math>===
Tenemos tres sólidos en el problema, la pared (sólido "1"), la armadura (sólido "0") y el disco
sólido "2"). Para resolver el primer apartado vamos a considerar la armadura y el disco como un
único sólido (sólido "2+0"). Las fuerzas externas que actúan sobre este sólido compuesto son el
peso <math>P</math>, y las f.r.v. que ejerce sobre él la pared en los puntos <math>A</math> y <math>D</math>. 

[[Imagen:F1_GIA_disco_armadura_fuerzas_02.png|right]]
El peso tiene dirección vertical. El vínculo en <math>D</math> es liso, por lo que <math>\vec{\Phi}^D_{21}</math> es
normal a la pared. La dirección de la recta soporte de <math>\vec{\Phi}^A_{01}</math> está determinada por el
teorema de las tres fuerzas, que obliga a que las tres fuerzas sean concurrentes. La figura muestra
las fuerzas que actúan sobre el sólido "2+0".

Escogemos los ejes <math>X</math> y <math>Y</math> como se indica en la figura para expresar las fuerzas. Tenemos
<center><math>
  \left.
  \begin{array}{l}
    \vec{P} = -P\,\vec{\jmath}\\ \\
    \vec{\Phi}^D_{21} = N^D_{21}\,\vec{\imath} \\ \\
    \vec{\Phi}^A_{01} = \Phi^A_{01x}\,\vec{\imath} + \Phi^A_{01y}\,\vec{\jmath}
  \end{array}
  \right.
</math></center>
Tenemos tres incógnitas: <math>N^D_{21}</math>, <math>\Phi^A_{01x}</math> y <math>\Phi^A_{o1y}</math>.  Necesitamos tres ecuaciones.
Podemos obtenerlas imponiendo las condiciones de equilibrio al sólido compuesto "0+2". En primer
lugar la resultante de las fuerzas externas debe ser nula
<center><math>
  \vec{P}+\vec{\Phi}^D_{21}+\vec{\Phi}^A_{21}=\vec{0}
  \Rightarrow
  \left\{
  \begin{array}{l}
    N^D_{21} + \Phi^A_{01x}=0\\ \\
    \Phi^A_{01y} = P
  \end{array}
  \right.
</math></center>
La otra condición dice que el momento resultante del sistema de fuerzas debe ser nulo respecto de
cualquier punto. Calculamos el momento respecto del punto <math>D</math> 
<center><math>
  \begin{array}{rl}
  \overrightarrow{DD}\times\vec{\Phi}^D_{21} +& \overrightarrow{DO}\times\vec{P} + \overrightarrow{DA}\times\vec{\Phi}^A_{01} =
  \vec{0}  \\
    &\overrightarrow{DD}\times\vec{\Phi}^D_{21}=\vec{0}\\
    &\overrightarrow{DO}\times\vec{P}= (-R\,\vec{\imath})\times(-P\,\vec{\jmath}) = R\,P\,\vec{k}\\
    &\overrightarrow{DA}\times\vec{\Phi}^A_{01}=\vec{0}
    \left(\dfrac{3}{2}R\,\vec{\jmath}\right)\times\left(\Phi^A_{01x}\vec{\imath}+\Phi^A_{01y}\vec{\jmath}\right)=-\dfrac{3}{2}R\Phi^A_{01x}\vec{k}
  \end{array}
</math></center>
La ecuación resultante es
<center><math>
  P\,R - \dfrac{3}{2}R\,\Phi^A_{01x}=0\Longrightarrow \Phi^A_{01x} = \dfrac{2P}{3}
</math></center>
Llevando esto a las ecuaciones anteriores obtenemos las f.r.v. en <math>A</math> y en <math>D</math>
<center><math>
  \left.
  \begin{array}{l}
    \vec{\Phi}^A_{01} = \dfrac{2P}{3}\vec{\imath} + P\,\vec{\jmath}\\ \\
    \vec{\Phi}^D_{21} = -\dfrac{2P}{3}\vec{\imath}
  \end{array}
  \right.
</math></center>
Podemos comprobar que los signos obtenidos concuerdan con los que se pueden intuir en el dibujo.

===Reacciones en <math>B</math>, <math>C</math> y <math>D</math>===
De las tres reacciones pedidas tenemos ya la f.r.v. en <math>D</math>.  Para obtener las otras consideramos
ahora el disco como sólido problema y lo liberamos. Todos los contactos son lisos, por lo que todas
las f.r.v. son normales a los contactos, como se indica en la figura. Usando los ejes indicados las
fuerzas son
<center><math>
  \left.
  \begin{array}{l}
    \vec{\Phi}^D_{21} = -\dfrac{2P}{3}\vec{\imath}\\ \\
    \vec{\Phi}^B_{20} = N^B_{20}\,\vec{\imath}\\ \\
    \vec{\Phi}^C_{20} = N^C_{20}\,\vec{\jmath}
  \end{array}
  \right.
</math></center>
[[Imagen:F1_GIC_disco_armadura_fuerzas.png|right|200px]]
Tenemos sólo dos incógnitas. Aquí basta con aplicar la condición de resultante nula de las fuerzas
actuando sobre el sólido "2" para resolver el problema. Tenemos
<center><math>
  \vec{\Phi}^B_{20} + \vec{\Phi}^C_{20} + \vec{\Phi}^D_{21} =  \vec{0}
  \Longrightarrow
  \left\{
  \begin{array}{l}
    \Phi^C_{20} = P \\ \\ \Phi^B_{20} = \dfrac{2P}{3}
  \end{array}
  \right.
</math></center>
Con lo que las fuerzas son
<center><math>
  \vec{\Phi}^B_{20}= \dfrac{2P}{3}\vec{\imath} \qquad\qquad \vec{\Phi}^C_{20} = P\,\vec{\jmath}
</math></center>

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