Ver el código de «Disco rodando en pared (Ex.Sep/12)»

==Enunciado==
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El plano vertical fijo <math>O_1X_1Y_1\,</math> (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos vinculados entre sí y en movimiento: un disco de radio <math>R\,</math> (sólido "2"), y una barra <math>BC\,</math> de longitud <math>L\,</math> (sólido "0"). El disco rueda sin deslizar sobre el eje vertical <math>O_1Y_1\,</math>, avanzando su centro <math>C\,</math> con velocidad constante <math>\vec{v}^{\, C}_{21}(t)=v_0\,\vec{\jmath}_1\,</math>. Y, como consecuencia, también la barra se mueve, ya que su extremo <math>C\,</math> está articulado al centro del disco, mientras que su extremo <math>B\,</math> está articulado a un deslizador que lo obliga a recorrer el eje <math>O_1X_1\,</math>.

Como parámetro descriptivo de la posición del sistema, se define el ángulo <math>\theta\,</math> que forma la barra <math>BC\,</math> con respecto a la vertical (ver figura). Se pide:

# Determinar gráficamente la posición de los tres centros instantáneos de rotación: <math>I_{21}\,</math>, <math>I_{20}\,</math> y <math>I_{01}\,</math>.
# Calcular todas las velocidades angulares en función de la posición, es decir: <math>\vec{\omega}_{21}(\theta)\,,</math> <math>\vec{\omega}_{01}(\theta)\,</math> y <math>\vec{\omega}_{20}(\theta)\,</math>.
# Calcular las aceleraciones <math>\vec{a}^{\, C}_{01}\,</math> y <math>\vec{a}^{\, A}_{21}\,</math> (ver <math>A\,</math> en la figura).

==Determinación gráfica de los centros instantáneos de rotación==
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Se nos indica que el disco (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el eje <math>O_1Y_1\,</math> (sólido "1"). La ausencia de deslizamiento implica que el centro instantáneo de rotación del movimiento {21} coincide con el punto de contacto disco-eje:
<center><math>
I_{21}\equiv A
</math></center>

El extremo <math>C\,</math> de la barra (sólido "0") se halla articulado al centro del disco (sólido "2"). Por tanto, dicho punto <math>C\,</math> es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {20}:
<center><math>
I_{20}\equiv C
</math></center>

Dado que el extremo <math>B\,</math> de la barra (sólido "0") está obligado a recorrer el eje <math>O_1X_1\,</math> (sólido "1"), la velocidad <math>\vec{v}^{B}_{01}\,</math> tiene necesariamente la dirección del eje <math>O_1X_1\,</math>. Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto <math>B\,</math> y trazando la recta que pasa por los puntos <math>I_{21}\,</math> y <math>I_{20}\,</math> (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto <math>I_{01}\,</math> en la intersección de ambas rectas:
<center>
(ver <math>I_{01}</math> en la figura adjunta)
</center>

==Velocidades angulares en función de la posición==

Al tratarse de movimientos planos, todas las velocidades angulares solicitadas son perpendiculares al plano director:
<center><math>
\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}_1\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,
</math></center>

En el movimiento {21}, conocemos la velocidad (dato) del punto <math>C\,</math> y la velocidad (nula) del punto <math>A\equiv I_{21}\,</math>. Relacionando ambas velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21}, deducimos el valor de la correspondiente velocidad angular:
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{A}_{21}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{21}=v_0\,\vec{\jmath}_1
\end{array}\right\}\,\,\,\,
\vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{A}_{21}+\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,
v_0\,\vec{\jmath}_1=\omega_{21}\,\vec{k}_1\times R\,\vec{\imath}_1\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,v_0=\omega_{21}R
</math></center>
Por tanto:
<center><math>
\vec{\omega}_{21}=\frac{v_0}{R}\,\vec{k}_1
</math></center>

En cuanto al movimiento {01}, conocemos la velocidad (nula) del punto <math>I_{01}\,</math>, que ha sido gráficamente determinado pero
cuya posición podemos expresar analíticamente mediante simple inspección geométrica de la figura:
<center><math>
\overrightarrow{O_1I_{01}}=[R+L\,\mathrm{sen}(\theta)]\,\vec{\imath}_1+L\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}_1
</math></center>
Y, por otra parte, aplicando la ley de composición de velocidades en el punto <math>C\equiv I_{20}\,</math>, deducimos el valor de la velocidad de <math>C\,</math> en el movimiento {01}:
<center><math>
\vec{v}^{\ C}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\ C}_{20}}_{=\vec{0}}+\vec{v}^{\ C}_{01}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,
\vec{v}^{\ C}_{01}=\vec{v}^{\ C}_{21}=v_0\,\vec{\jmath}_1
</math></center>
De modo que, relacionando estas dos velocidades entre sí mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}, podemos
deducir el valor de la correspondiente velocidad angular:
<center><math>
\left.\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, I_{01}}_{01}=\vec{0} \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{01}=v_0\,\vec{\jmath}_1
\end{array}\right\}\,\,\,\,\vec{v}^{\, C}_{01}=\vec{v}^{\, I_{01}}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times
\overrightarrow{I_{01}C}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,
v_0\,\vec{\jmath}_1=\omega_{01}\,\vec{k}_1\times
[-L\,\mathrm{sen}(\theta)]\,\vec{\imath}_1
\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,v_0=-\omega_{01}L\,\mathrm{sen}(\theta)
</math></center>
Por tanto:
<center><math>
\vec{\omega}_{01}=-\frac{v_0}{L\,\mathrm{sen}(\theta)}\,\vec{k}_1
</math></center>

Finalmente, la ley de composición de velocidades angulares permite deducir el valor de la velocidad angular que nos falta:
<center><math>
\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,
\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}=
\left[\frac{v_0}{R}+\frac{v_0}{L\,\mathrm{sen}(\theta)}\right]\,\vec{k}_1
</math></center>

==Aceleraciones pedidas==
La aceleración <math>\vec{a}^{\, C}_{01}\,</math> se deduce fácilmente a partir de la ley de composición de aceleraciones aplicada al punto <math>C\,</math>:
<center><math>
\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{21}}_{\displaystyle =\vec{0}}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\vec{a}^{\, C}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\!\underbrace{\vec{v}^{\, C}_{20}}_{\displaystyle =\vec{0}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{a}^{\, C}_{01}=\vec{0}
</math></center>
donde se ha tenido en cuenta que <math>\vec{v}^{\, C}_{20}\,</math> y <math>\vec{a}^{\, C}_{20}\,</math> son ambas nulas por ser <math>C\,</math> un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento {20}, y que <math>\vec{a}^{\, C}_{21}\,</math> es
nula por ser <math>\vec{v}^{\, C}_{21}\,</math> constante en el tiempo.

Por último, deducimos la aceleración <math>\vec{a}^{\, A}_{21}\,</math> relacionándola con la aceleración <math>\vec{a}^{\, C}_{21}\,</math> mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}:
<center><math>
\vec{a}^{\, A}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, C}_{21}}_{\displaystyle =\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{21}}_{\displaystyle =\vec{0}}\times\,\overrightarrow{CA}-|\vec{\omega}_{21}|^2\,\overrightarrow{CA}=-\frac{v_0^2}{R^{\, 2}}(-R\,\vec{\imath}_1)=\frac{v_0^2}{R}\,\vec{\imath}_1
</math></center>
donde se ha tenido en cuenta que la aceleración angular <math>\vec{\alpha}_{21}\,</math> es nula por ser la velocidad angular
<math>\vec{\omega}_{21}\,</math> constante en el tiempo.

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