Ver el código de «Deslizadera y disco rodando sin deslizar (MR G.I.C.)»

= Enunciado =
[[File:MR_disco_deslizadera_enunciado.png|right]]
Un disco homogéneo (sólido "2") de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> puede rotar alrededor de su
centro <math>C</math>, que se mantiene fijo. Una deslizadera vertical (sólido "0"), de masa <math>m</math>
puede moverse a lo largo del
eje <math>O_1Y_1</math>, de modo que en el punto de contacto <math>A</math> el disco rueda sin deslizar sobre el
sólido "0". La deslizadera está conectada a un muelle de constante elástica <math>k</math> y
longitud natural <math>l_0</math>. El otro extremo del muelle está anclado en un punto fijo del eje
<math>O_1X_1</math>, de modo que se mantiene siempre vertical. El sistema está sometido a la acción de la gravedad como se indica en la figura. 

#¿Cuantos grados de libertad tiene el sistema? Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {20} y {21}, así como sus derivadas temporales. El resultado debe quedar en función del número de grados de libertad y sus derivadas temporales.
#Calcula las energías cinética y potencial del sistema en función de sus grados de libertad.
#Escribe la lagrangiana del sistema, así como las ecuaciones diferenciales de movimiento.
#Se aplica sobre el disco un par de fuerzas externo <math>\vec{\tau} = \tau_0\cos(\omega t)\,\vec{k}_1</math>. Encuentra las ecuaciones de movimiento en este caso. ¿Para qué valor de <math>\omega</math> aparece una resonancia mecánica?
#Ahora no hay par aplicado. Se aplica una percusión <math>\vec{\hat{F}}=[\hat{F}_0, \hat{F}_0,0]_1</math> sobre el punto <math>B</math> del sólido "2". En el instante de la percusión se cumple <math>s(0)=l_0</math>, <math>\theta(0)=0</math>, <math>\dot{s}(0^-)=0</math>, <math>\dot{\theta}(0^-)=0</math>. Calcula el estado del sistema inmediatamente después de la percusión.

= Solución =

== Reducciones cinemáticas y grados de libertad ==

=== Movimiento {01} ===
La deslizadera realiza un movimiento de traslación vertical. Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{v}_{01} = \dot{s}\,\vec{\jmath}_1, & \vec{\omega}_{01} = \vec{0} \\
\vec{a}_{01} = \ddot{s}\,\vec{\jmath}_1, & \vec{\alpha}_{01} = \vec{0}
\end{array}
</math>
</center>
No ponemos letras en la velocidad y aceleración pues es una traslación y son iguales en todos los puntos.

=== Movimiento {21} ===
El disco hace una rotación con su centro fijo. Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0}, & \vec{\omega}_{01} = -\dot{\theta}\,\vec{k}_1 \\
\vec{a}^{\,C}_{21} = \vec{0}, & \vec{\alpha}_{21} = -\ddot{\theta}\,\vec{k}_1 
\end{array}
</math>
</center>
=== Movimiento {20} ===
Usamos las reglas de composición
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = -\dot{\theta}\,\vec{k}_1\\
\vec{\alpha}_{20} = \vec{\alpha}_{21} - \vec{\alpha}_{01} - \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = -\ddot{\theta}\,\vec{k}_1\\
\vec{v}^{\,C}_{20} = \vec{v}^{\,C}_{21} - \vec{v}^{\,C}_{01} = -\dot{s}\,\vec{\jmath}_1\\
\vec{a}^{\,C}_{20} = \vec{a}^{\,C}_{21} - \vec{a}^{\,C}_{01} -2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,C}_{20} = -\ddot{s}\,\vec{\jmath}_1\\
\end{array}
</math>
</center>

=== Grados de libertad ===
La condición de rodadura sin deslizamiento impone una ligadura entre <math>s</math> y <math>\theta</math>
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0} 
\Longrightarrow
\vec{v}^{\,C}_{20} + \vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CA}
=
(-\dot{s}+R\dot{\theta})\,\vec{\jmath}_1=\vec{0}
\Longrightarrow
\dot{s}=R\dot\theta
</math>
</center>
Es decir, el sistema tiene un grado de libertad. Elegiremos <math>\{s\}</math> para describir el movimiento.

== Energía cinética y potencial ==
La energía cinética total es la suma de la energía cinética de cada sólido
<center>
<math>
T = T_0 + T_2
</math>
</center>
La deslizadera tiene sólo energía cinética de traslación
<center>
<math>
T_0 = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}_{01}|^2 = \dfrac{1}{2}m\dot{s}^2
</math>
</center>
El disco tiene sólo energía cinética de rotación
<center>
<math>
T_2 = \dfrac{1}{2}I_C|\vec{\omega}_{01}|^2 = \dfrac{1}{4}mR^2\dot{\theta}^2 = \dfrac{1}{4}m\dot{s}^2
</math>
</center>
La energía cinética total es
<center>
<math>
T = T_0+T_2 = \dfrac{3}{4}m\dot{s}^2
</math>
</center>
La deslizadera tiene energía potencial y elástica. El centro del masas del disco no cambia su altura, por lo que su energía potencial gravitatoria es constante y no afecta a la dinámica del sistema. Podemos ignorarla. Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
U_{0g} = mgs\\
U_{0k} = \dfrac{1}{2}k(s-l_0)^2\\
U = U_{0g} + U_{0k} = mgs + \dfrac{1}{2}k(s-l_0)^2
\end{array}
</math>
</center>

== Lagrangiana y ecuaciones de Euler ==
La función de Lagrange es
<center>
<math>
L = T - U =  \dfrac{3}{4}m\dot{s}^2 - mgs - \dfrac{1}{2}k(s-l_0)^2
</math>
</center>
La ecuación de Euler para <math>s</math> es
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{s}}\right)
- \dfrac{\partial L}{\partial s} = 0
</math>
</center>
Haciendo las derivadas obtenemos
<center>
<math>
\dfrac{3}{2}m\ddot{s} + k(s-l_0) + mg = 0
</math>
</center>
Podemos reordenar la ecuación
<center>
<math>
\ddot{s} = -\dfrac{2k}{3m}s - \dfrac{2}{3}g + \dfrac{2kl_0}{3m}
</math>
</center>
Es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico con frecuencia angular y período
<center>
<math>
\omega_0 = \sqrt{\dfrac{2k}{3m}}, 
\qquad
\tau = \dfrac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\dfrac{3m}{2k}}
</math>
</center>
La posición de equilibrio se obtiene imponiendo <math>\ddot{s}=0</math>
<center>
<math>
s_{eq} = l_0 - \dfrac{mg}{2k}
</math>
</center>

== Aplicación de un par de fuerzas externo <math>\vec{\tau}=\tau_0\cos(\omega t)\,\vec{k}_1</math>==
El par de fuerzas externo introduce una fuerza generalizada no conservativa en la ecuación de Euler
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{s}}\right)
- \dfrac{\partial L}{\partial s} =  Q_s^{NC}
</math>
</center>
El lado izquierdo de la ecuación queda igual que antes. Calculamos la fuerza generalizada
<center>
<math>
Q^{NC}_s = \vec{\tau}\cdot\dfrac{\partial\vec{\omega}_{21}}{\partial\dot{s}}
=
-\dfrac{\tau_0}{R}\cos(\omega t)
</math>
</center>
La ecuación del movimiento es
<center>
<math>
\ddot{s} +\dfrac{2k}{3m}s + \dfrac{2}{3}g . \dfrac{2kl_0}{3m} = -\dfrac{2\tau_0}{3mR}\cos(\omega t)
</math>
</center>
Es la ecuación de un oscilador forzado con un término de forzamiento dado por el par de fuerzas y de frecuencia <math>\omega</math>. La resonancia mecánica aparece cuando esta frecuencia se acerca a la frecuencia natural del oscilador calculada antes
<center>
<math>
\omega \simeq \omega_0 = \sqrt{\dfrac{2k}{3m}}
</math>
</center>

== Percusión ==
Ahora, sin par de fuerzas externo, se aplica una percusión en <math>B</math> de forma
<center>
<math>
\vec{\hat{F}} = [\hat{F}_0, \hat{F}_0, 0]_{1}
</math>
</center>
La ecuación de Lagrange percusiva es
<center>
<math>
\Delta p_{s} = \hat{Q}^{NC}_s
</math>
</center>
El momento generalizado es
<center>
<math>
p_s = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{s}} = \dfrac{3}{2}m\dot{s}
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
\Delta p_s = \dfrac{3}{2}m(\dot{s}(0^+)-\dot{s}(0^-)) = \dfrac{3}{2}ms(0^+)
</math>
</center>
La percusión generalizada es
<center>
<math>
\hat{Q}^{NC}_s = \vec{\hat{F}}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,B}_{21}}{\partial \dot{s}}
</math>
</center>
La velocidad absoluta en <math>B</math> es
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,C}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB} = -\dot{s}\,\vec{\jmath}_1
</math>
</center>
La percusión generalizada es
<center>
<math>
\hat{Q}^{NC}_s = -\hat{F}_0
</math>
</center>
La velocidad generalizada justo después de la percusión es
<center>
<math>
\dot{s}(0^+) = -\dfrac{2\hat{F}_0}{3m}
</math>
</center>

[[Categoría:Problemas de mecánica analítica]]
[[Categoría:Problemas de Dinámica Analítica]]
[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]