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==Enunciado==
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A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

==Coseno de una diferencia==
Consideremos los dos vectores <math>\vec{u}_1</math> y <math>\vec{u}_2</math>, ambos de módulo unidad, y que forman ángulos <math>\alpha</math> y <math>\beta</math> con el eje X, respectivamente.

El producto escalar de los dos vectores es igual a

<center><math>\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2 = 1\cdot 1\cdot\cos(\beta-\alpha)</math></center>

Por otro lado, las componentes de estos vectores en la base canónica son

<center><math>\vec{u}_1 = \cos(\alpha)\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}(\alpha)\vec{\jmath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{u}_2 = \cos(\beta)\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{\jmath}</math></center>

de forma que su producto escalar también se puede calcular como la suma de los productos de las componentes

<center><math>\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2 = \cos(\alpha)\cos(\beta)+\,\mathrm{sen}\,(\alpha)\,\mathrm{sen}\,(\beta)</math></center>

Igualando las dos expresiones para el producto escalar

<center><math>\cos(\beta-\alpha) = \cos(\alpha)\cos(\beta)+\,\mathrm{sen}\,(\alpha)\,\mathrm{sen}\,(\beta)</math></center>

==Seno de una diferencia==
Si en vez del producto escalar hallamos el producto vectorial, tenemos que el resultado es un vector en la dirección normal al plano (dada por el unitario <math>\vec{k}</math>) y de módulo el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman

<center><math>\vec{u}_1\times\vec{u}_2 = 1\cdot 1\cdot\,\mathrm{sen}\,(\beta-\alpha)\vec{k}</math></center>

Por otro lado, operando con las componentes cartesianas en la base canónica

<center><math>\vec{u}_1\times\vec{u}_2 = \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \cos(\alpha) & \mathrm{sen}(\alpha) & 0 \\ \cos(\beta) & \mathrm{sen}(\beta) & 0\end{matrix}\right|=\left(\cos(\alpha)\,\mathrm{sen}\,(\beta)-\,\mathrm{sen}\,(\alpha)\cos(\beta)\right)\vec{k}</math></center>

Igualando las dos expresiones obtenemos

<center><math>\mathrm{sen}\,(\beta-\alpha) = \cos(\alpha)\,\mathrm{sen}\,(\beta)-\,\mathrm{sen}\,(\alpha)\cos(\beta)</math></center>

que es la fórmula para el seno de una diferencia.
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