Ver el código de «Composición de dos rotaciones que se cruzan (Ex.Sep/12)»

==Enunciado==
Sean tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2") tales que el movimiento relativo {20} es una rotación alrededor del eje { <math>x=0\,</math>, <math>z=L\,</math>} (con <math>L\neq 0\,</math>); mientras que el movimiento de arrastre {01} es una rotación alrededor del eje { <math>y=0\,</math>, <math>z=-L\,</math>}. Las velocidades angulares relativa y de arrastre tienen ambas el mismo
módulo: <math>|\vec{\omega}_{20}|=|\vec{\omega}_{01}|=\Omega\neq 0\,</math>, y cada una de ellas apunta en el sentido positivo del eje cartesiano al cual es paralela.

# ¿Qué tipo de movimiento es el absoluto {21}?
# ¿Cuál es el EIR (o EIRMD) de dicho movimiento {21}?

==Solución==
Tenemos la información necesaria para determinar los vectores <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> y <math>\vec{\omega}_{01}.\,</math> El enunciado nos proporciona sus módulos <math>(|\,\vec{\omega}_{20}|=|\,\vec{\omega}_{01}|=\Omega)\,</math>, sus direcciones <math>(\vec{\omega}_{20}\parallel\mathrm{EIR\{20\}} \parallel OY\,</math>; y <math>\vec{\omega}_{01}\parallel\mathrm{EIR\{01\}} \parallel OX)\,</math> y sus correspondientes sentidos 
<math>(+\vec{\jmath}\,</math> y <math>+\vec{\imath}\,)\,</math>. Así que:
<center><math>
\vec{\omega}_{20}=\Omega\,\vec{\jmath}\;;\;\;\;\;\;\;
\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{\imath}
</math></center>
La ley de composición de velocidades angulares nos permite determinar la velocidad angular del movimiento {21}:
<center><math>
\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\Omega\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)
</math></center>

Por otra parte, observando las ecuaciones del EIR{20} y del EIR{01}, nos damos cuenta de que ambos ejes no son concurrentes, sino que se cruzan en el espacio.

'''NOTA''': Cuando se componen dos rotaciones puras de ejes conocidos, es interesante comprobar si ambos ejes son o no concurrentes. Porque en el caso de que ambos ejes se corten en un punto, automáticamente sabemos que en dicho punto la velocidad del movimiento compuesto va a ser nula, y por tanto el movimiento compuesto será otra rotación pura cuyo eje pasará por el punto de concurrencia.

Para clasificar el movimiento {21} necesitamos ahora calcular la velocidad {21} de algún punto (para determinar después el segundo invariante). Vamos a hallar, por ejemplo, la velocidad {21} del origen de coordenadas <math>O(0,0,0)\,</math> como suma de las velocidades {20} y {01} de dicho punto (ley de composición de velocidades). Y para calcular las velocidades {20} y {01} de <math>O\,</math> nos apoyaremos, respectivamente, en los puntos <math>A(0,0,L)\in\mathrm{EIR\{20\}}\,</math> y <math>B(0,0,-L)\in\mathrm{EIR\{01\}}\,</math>. Así: 
<center><math>
\vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, O}_{20}+\vec{v}^{\, O}_{01}=(\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{20}}_{=\vec{0}}+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AO})+(\underbrace{\vec{v}^{\, B}_{01}}_{=\vec{0}}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{BO})=\Omega\,\vec{\jmath}\times(-L\,\vec{k}\,)+\Omega\,\vec{\imath}\times L\,\vec{k}=-\Omega L(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)
</math></center>

Calculamos ahora el segundo invariante:
<center><math>
v^{\mathrm{min}}_{21}=\frac{\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{v}^{\, O}_{21}}{|\,\omega_{21}|}=-\sqrt{2}\,\Omega L
</math></center>

Concluimos, pues, que el movimiento {21} es un movimiento helicoidal, ya que tanto el primer como el segundo invariante son no nulos:
<center><math>
\left.\begin{array}{l} \vec{\omega}_{21}=\Omega\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)\neq\vec{0} \\ \\ v^{\mathrm{min}}_{21}=-\sqrt{2}\,\Omega L\neq 0 \end{array}\right\}\,\,\,\longrightarrow\,\,\,</math> {21} es un MOVIMIENTO HELICOIDAL
</center>

Obsérvese que la velocidad <math>\vec{v}^{\, O}_{21}\,</math> ha resultado ser paralela a la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{21}\,</math>. Esto implica que el EIRMD{21} pasa por el origen de coordenadas <math>O\,</math>. Por otra parte, la dirección del EIRMD{21} es la dirección del vector velocidad angular <math>\vec{\omega}_{21}\,</math>. En definitiva, las ecuaciones del EIRMD{21} son:
<center><math>
\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{0}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \{y = x, \,\, z = 0\}
</math></center>

Si por simple inspección no nos diésemos cuenta de que <math>\vec{v}^{\, O}_{21}\parallel\vec{\omega}_{21}\,</math> y que, por tanto, <math>O\in\mathrm{EIRMD\{21\}}\,</math>, lo detectaríamos al tratar de calcular un punto <math>I\,</math> perteneciente al EIRMD{21} utilizando la fórmula habitual:
<center><math>
\overrightarrow{OI^{*}}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, O}_{21}}{|\,\vec{\omega}_{21}|^{\, 2}}=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, I^{*}\equiv O\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,O\in\mathrm{EIRMD\{21\}}
</math></center>

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