Ver el código de «Cargas en los vértices de un cuadrado (GIOI)»

==Enunciado==
Se tienen cuatro cargas en los vértices de un cuadrado cuya diagonal mide 20 cm, según ilustra la figura. Los valores de todas las cargas son +10 nC o −10 nC
# {{nivel|1}} ¿Cuánto vale aproximadamente la fuerza sobre una carga de 10 nC situada en el centro del cuadrado?
# {{nivel|1}} ¿Cuánto vale aproximadamente el trabajo para llevar la carga central hasta el infinito?
# {{nivel|2}} Suponiendo que no está la carga central, ¿cuánto vale la energía electrostática almacenada en el sistema?
# {{nivel|3}} ¿Qué trabajo hay que realizar para permutar una carga positiva por una negativa vecina?

<center>[[Archivo:Cuatro-cargas-cuadrado.png]]</center>
==Fuerza sobre una carga central==
El par de cargas situadas sobre el eje Z produce una fuerza neta en el sentido del eje X positivo. Las dos cargas sobre el eje Y una fuerza igual en el sentido del eje Y. La fuerza total tendrá entonces iguales componentes en los dos ejes e irá en el sentido del primer cuadrante. Esto reduce las posibles respuestas a la B o a la D. Para saber cuál es la correcta debemos aplicar la ley de Coulomb.

La fuerza debida a la carga situada en la parte negativa del eje X es

<center><math>\vec{F}_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_1q_0}{d^2}\vec{\imath}=9\times 10^9\frac{(10^{-8})^2}{(0.1)^2}\vec{\imath}\,\mathrm{N}=90\vec{\imath}\,\mu\mathrm{N}</math></center>

La debida a la carga situada en la parte positiva del eje X es igual a esta. Las de las cargas en el eje Y iguales pero en el sentido de <math>+\vec{\jmath}</math>. Por tanto, la fuerza neta es

<center><math>\vec{F}=180(\vec{\imath}+\vec{\jmath})\,\mu\mathrm{N}</math></center>

==Trabajo para mover la carga==
El punto central se encuentra en una posición simétrica respecto a las dos cargas de la misma magnitud y signo opuesto situadas en el eje Z. Lo mismo ocurre con las del eje Y. Por tanto, el potencial al que se encuentra la carga es nulo

<center><math>V(\vec{0})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{d}+\frac{-q}{d}+\frac{q}{d}+\frac{-q}{d}\right)=0</math></center>

Dado que el infinito también se encuentra a potencial nulo, el trabajo para ir de un punto a otro es cero.

<center><math>W_\mathrm{in}=q\,\Delta V = q(0-0) = 0</math></center>

El subíndice "in" quiere decir que este es un trabajo externo que se realiza 'sobre' el sistema.

==Energía almacenada==
Cada carga se encuentra sometido al potencial de dos cargas opuestas situadas simétricamente (cuyos potenciales respectivos se anulan) y de una de signo opuesto, que produce una energía potencial negativa.

Podemos hallar el valor de la energía.

<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\sum_i q_iV'(\vec{r}_i)</math></center>

siendo <math>V'(\vec{r}_i)</math> el potencial en cada carga debido al resto de cargas del sistema. Para la carga del eje X negativo vale

<center><math>q_1=q=10^{-8}\mathrm{C}\qquad\qquad V'_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{d\sqrt{2}}-\frac{q}{2d}-\frac{q}{d\sqrt{2}}\right)=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{2d}=-450\,\mathrm{V}</math></center>

Lo que da una contribución para esta carga

<center><math>\frac{1}{2}q_1V'_1=-\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0d}=-2.25\,\mu\mathrm{J}</math></center>

Operando igualmente para las otras tres cargas obtenemos

<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\times 4\times\left(-\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 d}\right)=-\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d}=-\frac{9\times 10^9\times(10^{-8})^2}{0.1}=-9\,\mu\mathrm{J}</math></center>

==Trabajo para permutar cargas==
A la hora de calcular el trabajo para permutar dos cargas, podemos hacerlo de dos formas:

* A partir de la diferencia entre la energía final y la inicial
* Calculando el trabajo en un proceso que lleve del estado inicial al final.

En el primer caso, ya tenemos la energía inicial

<center><math>U_\mathrm{eA}=-9\,\mu\mathrm{J}</math></center>

La energía final se calcula observando que en esa situación cada carga tiene como cargas contiguas dos del signo opuesto y enfrente una del mismo signo. Por tanto, para cada carga

<center><math>\frac{1}{2}q_1 V'_1 = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\left(2\left(\frac{-q^2}{d\sqrt{2}}\right)+\frac{q^2}{2d}\right)=-4.11\,\mu\mathrm{J}</math></center>

como las cuatro cargas están en la misma situación, la energía total final es

<center><math>U_\mathrm{eB}=4\times(-4.11\,\mu\mathrm{J})=-16.5\,\mu\mathrm{J}</math></center>

y por tanto, el trabajo necesario para realizar la permuta es 

<center><math>W_\mathrm{in}=U_\mathrm{eB}-U_\mathrm{eA}=-16.5\,\mu\mathrm{J}+9\,\mu\mathrm{J}=-7.5\,\mu\mathrm{J}</math></center>