Ver el código de «Campo eléctrico de un anillo no homogéneo»

==Enunciado==
Un anillo de radio ''b'' se encuentra cargado con una densidad lineal de carga <math>\lambda =\lambda_0\cos^2(\theta'/2)</math>. El anillo se encuentra situado en el plano OXY, centrado en el origen. θ' es la coordenada angular en cilíndricas (ángulo que el vector de posición forma con OX).
# ¿Cuánto vale la carga total del anillo?
# ¿Cuánto vale el campo eléctrico en el centro del anillo?
# ¿Y el potencial eléctrico en el mismo punto?
==Carga total==
En primer lugar, debemos recordar la identidad trigonométrica

<center><math>\cos^2\left(\frac{\theta'}{2}\right) = \frac{1+ \cos(\theta')}{2}</math></center>

Tenemos, para la carga

<center><math>Q=\int_L \mathrm{d}q = \int_{0}^{2\pi}\lambda(\theta')\mathrm{d}\ell=\int_{0}^{2\pi}\frac{\lambda_0}{2}(1+\cos(\theta')b\mathrm{d}\theta'</math></center>

Esta integral es suma de dos integrales simples

<center><math>Q=\frac{\lambda_0b}{2}\left(\overbrace{\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta'}^{=2\pi}+\overbrace{\int_0^{2\pi}\cos(\theta') \mathrm{d}\theta'}^{=0}\right)= \pi\lambda_0 b</math></center>

==Campo en el centro del anillo==
Para una densidad lineal de carga debemos aplicar la fórmula

<center><math>\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm{d}q\left(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right|^3}</math></center>

donde, en este caso

<center><math>\vec{r}=\vec{0}\qquad \qquad \vec{r}'=b\cos(\theta')\vec{\imath}+b\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}</math></center>

y, por tanto,

<center><math>\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime} = -\vec{r}^{\,\prime}= -b\cos(\theta')\vec{\imath}-b\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}\qquad\qquad |\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|=|\vec{r}^{\,\prime}| = b</math></center>

lo que nos deja con la integral

<center><math>\vec{E}(\vec{0})=-\frac{\lambda_0 }{8\pi\varepsilon_0b }\int_0^{2\pi}\left(1+\cos(\theta')\right)\left(\cos(\theta')\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}\right)\mathrm{d}\theta'</math></center>

El resultado se compone de dos integrales

<center><math>\int_0^{2\pi}(1+ \cos(\theta'))\cos(\theta') \mathrm{d}\theta' = \int_0^{2\pi}\cos(\theta') \mathrm{d}\theta'+ \int_0^{2\pi}\cos^2(\theta') \mathrm{d}\theta' = \pi</math></center>
&nbsp;
<center><math>\int_0^{2\pi}(1+ \cos(\theta'))\mathrm{sen}(\theta') \mathrm{d}\theta' = \int_0^{2\pi}\mathrm{sen}(\theta') \mathrm{d}\theta'+ \int_0^{2\pi}\mathrm{sen}(\theta')\cos(\theta') \mathrm{d}\theta' = 0</math></center>

por lo que el valor del campo es

<center><math>\vec{E}(\vec{0})=-\frac{\lambda_0}{8\varepsilon_0 b}\vec{\imath}</math></center>

==Potencial eléctrico en el centro del anillo==
El cálculo del potencial se realiza de manera similar, pero es más simple. En general

<center><math>V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm{d}q}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right|}</math></center>

En el caso particular del centro del anillo, <math>\vec{r}=\vec{0}</math> y esta integral se reduce angular

<center><math>V(\vec{0})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm{d}q}{b}= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 b}</math></center> 

Es decir, solo necesitamos el valor de la carga total, que ya calculamos en el primer apartado.

<center><math>V(\vec{0})= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 b}=\frac{\lambda_0}{4\varepsilon_0}</math></center>