Ver el código de «Barra rotando con disco, Septiembre 2019 (G.I.E.R.M.)»

= Enunciado = 
[[File:F1GIERM_barra_disco_enunciado.png|right]]
Una varilla recta y rígida (sólido "0") se mueve siempre contenida en el plano
fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido "1"), girando, con velocidad angular constante <math>\Omega</math>
y en el sentido indicado en la figura, alrededor de su extremo articulado el
punto fijo <math>O</math>. El centro <math>C</math> de un disco de radio <math>R</math> (sólido "2"), recorre
la varilla alejándose con aceleración constante <math>2a_0</math>. En el instante inicial
<math>t=0</math>, el punto <math>C</math> coincidía con el <math>O</math> y su velocidad era nula.
A su vez, el disco gira
alrededor de su centro <math>C</math> en el sentido indicado, con velocidad angular
constante <math>\omega</math> (respecto a la varilla) y permaneciendo siempre paralelo al
plano fijo <math>OX_1Y_1</math>. En el instante inicial la varilla recta
coincidía con el eje <math>OX_1</math>,

#Determina reducciones cinemáticas y sus derivadas temporales de los movimientos {01}, {20} y {21}. Puedes hacerlo en cualquier punto.
#En el instante <math>t=1/\Omega</math>, encuentra la posición de los C.I.R. de los tres movimientos.

= Solución =

== Reducciones cinemáticas ==

=== Movimiento {01} ===
El movimiento {01} es plano. Del dibujo vemos
<center>
<math>
\vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}.
</math>
</center>
Como <math>\Omega</math> es constante en el tiempo tenemos
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{01} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}.
</math>
</center>
Por otro lado, el punto <math>O</math> del sólido "0" coincide siempre con el punto <math>O</math> del sólido "1" en todo instante de tiempo. Entonces
<center>
<math>
\vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0}, \qquad
\vec{a}^{\,O}_{01} = \vec{0}.
</math>
</center>
Es decir, la reducción cinemática en <math>O</math> de este movimiento es
<center>
<math>
R(O) = \{\vec{v}^{\,O}_{01}, \vec{\omega}_{01}\}.
</math>
</center>
Su derivada temporal es
<center>
<math>
\{\vec{a}^{\,O}_{01}, \vec{\alpha}_{01}\}.
</math>
</center>

=== Movimiento {20} ===
Reducimos este movimiento en el punto <math>C</math>. Como es plano, del 
dibujo vemos
<center>
<math>
\vec{\omega}_{20} = -\omega\,\vec{k}.
</math>
</center>
Como <math>\omega</math> es constante en el tiempo tenemos
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{20} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}.
</math>
</center>
El punto <math>C</math> del disco desliza sobre el eje <math>OX_0</math> con aceleración uniforme
<center>
<math>
\vec{a}^{\,O}_{20} = 2a_0\,\vec{\imath}_0.
</math>
</center>
Como en el instante inicial el centro del disco estaba en <math>O</math> y tenía velocidad nula tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{\,O}_{20} = 2a_0t\,\vec{\imath}_0.
</math>
</center>
Es decir, la reducción cinemática en <math>C</math> de este movimiento es
<center>
<math>
R(C) = \{\vec{v}^{\,C}_{20}, \vec{\omega}_{20}\}.
</math>
</center>
Su derivada temporal es
<center>
<math>
\{\vec{a}^{\,C}_{20}, \vec{\alpha}_{20}\}.
</math>
</center>

== Movimiento {21} ==
Construimos este movimiento con la composición
<center>
<math>
\{21\} = \{20\} + \{01\}.
</math>
</center>
Para la velocidad y aceleración angulares tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = (\Omega-\omega)\,\vec{k},\\
\\
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = \vec{0}.
\end{array}
</math>
</center>
Para la velocidad en <math>C</math> tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{rl}
\vec{v}^{\,C}_{21} & = \vec{v}^{\,C}_{20} + \vec{v}^{\,C}_{01} = 
2ac_0t\,\vec{\imath}_0 + a_0t^2\,\vec{\imath}\\
&\\
&\vec{v}^{\,C}_{20} = 2a_0t\,\vec{\imath}_0\\
&\\
&\vec{v}^{\,C}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC} = a_0\Omega_0t^2\,\vec{\jmath}_0\\
&\\
&\overrightarrow{OC} = a_0t^2\,\vec{\imath}
\end{array}
</math>
</center>

[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]
[[Categoría:Problemas de Examen de Física I (G.I.E.R.M.)]]
[[Categoría:Física I (G.I.E.R.M.)]]