Ver el código de «Barra apoyada sobre placa rectangular (Nov 2017 MR)»

= Enunciado =
[[Imagen:MR_barra_placa_enunciado.png|right]]
La barra de la figura (sólido "2") está articulada en el punto <math>O</math>. Se apoya
sobre el vértice <math>A</math> de una placa rectangular (sólido "0") de altura <math>d</math>. El 
vértice <math>A</math> de la placa puede deslizar a lo largo de la barra. La
placa desliza sobre el eje <math>OX_1</math>, de forma que su base está siempre en contacto 
con el eje. El ángulo que forma la barra con el eje <math>OX_1</math> es <math>\theta(t) = \omega_0t + \pi/6</math>, con 
<math>\omega_0</math> constante y positivo.
#Escribe el vector de posición absoluto del punto <math>A</math> del sólido "0".
#Encuentra la reducción cinemática de los tres movimientos relativos del sistema.
#Determina aceleración <math>\vec{a}^{\,O}_{20}</math> en el instante en que <math>\theta=\pi/4</math>, así como la posición del C.I.R.
#Determina las posiciones de los C.I.R en ese mismo instante.

= Solución =

== Vector de posición ==
El vector de posición pedido es
<center>
<math>
\vec{r}^{\,A}_{01} = \dfrac{d}{\tan\theta}\vec{\imath}_1 + d\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>

== Reducciones cinemáticas ==

=== Movimiento {01} ===
Este movimiento es una traslación, pues los lados de la placa mantienen sus direcciones constantes
respecto a los ejes del sólido "1". El vector de posición del apartado anterior sigue siempre al mismo
punto <math>A</math> del sólido "0". Entonces se puede derivar respecto del tiempo para calcular
la velocidad <math>\vec{v}^{\,A}_{01}</math>. Al ser una traslación, no hay que poner la letra, pues
todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad.
<center>
<math>
\vec{\omega}_{01} = \vec{0}, 
\qquad
\vec{v}_{01} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}^{\,A}_{01}}{\mathrm{d}t} \right|_1
=
-\dfrac{d\omega_0}{\mathrm{sen}^2\,\theta}\,\vec{\imath}_1.
</math>
</center>

=== Movimiento {21} ===
Esta es una rotación de eje permanente con C.I.R. en el punto <math>O</math>. Tenemos
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \omega_0\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{0}.
</math>
</center>

=== Movimiento {20} ===
Usamos las leyes de composición. Tenemos
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01}
\Longrightarrow
\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = \omega_0\,\vec{k}.
</math>
</center>
Y
<center>
<math>
\vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{v}^{\,O}_{20} + \vec{v}^{\,O}_{01}
\Longrightarrow
\vec{v}^{\,O}_{20} = \vec{v}^{\,O}_{21} - \vec{v}^{\,O}_{01}
=
\dfrac{d\omega_0}{\mathrm{sen}^2\,\theta}\,\vec{\imath}_1
</math>
</center>

== Derivadas de las reducciones cinemáticas ==

=== Movimiento {01} ===
Derivando respecto al tiempo tenemos
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{01} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t} \right|_1 =
 \vec{0}, 
\qquad
\vec{a}_{01} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{01}}{\mathrm{d}t} \right|_1
=
\dfrac{2d\omega^2_0\cos\theta}{\mathrm{sen}^3\,\theta}\,\vec{\imath}_1.
</math>
</center>

=== Movimiento {21} ===
Derivando tenemos
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t} \right|_1 =
 \vec{0}, 
\qquad
\vec{a}^{\,O}_{01} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,O}_{01}}{\mathrm{d}t} \right|_1
=
\vec{0}.
</math>
</center>

=== Movimiento {20} ===
Usamos las leyes de composición. Tenemos
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} +\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} 
\Longrightarrow
\vec{\alpha}_{20} = \vec{0}
</math>
</center>
Y
<center>
<math>
\vec{a}^{\,O}_{21} = \vec{a}^{\,O}_{20} + \vec{a}^{\,O}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,O}_{20}
\Longrightarrow
\vec{a}^{\,O}_{20} = \vec{a}^{\,O}_{21} - \vec{a}_{01} - 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,O}_{20}
=
-\dfrac{2d\omega^2_0\cos\theta}{\mathrm{sen}^3\,\theta}\,\vec{\imath}_1
</math>
</center>
Si <math>\theta=\pi/4</math> tenemos
<center>
<math>
\vec{a}^{\,O}_{20} = -4d\omega_0^2\,\vec{\imath}_1.
</math>
</center>

== Posición de los C.I.R  en <math>\theta=\pi/4</math> ==
[[Imagen:MR_barra_placa_CIR.png|right]]
La figura de la derecha muestra la posición de los C.I.R. de los movimientos cuando <math>\theta=\pi/4</math>. En todo instante tenemos
<center>
<math>
I_{21}\equiv O, \qquad I_{01}\equiv \infty (+Y_1).
</math>
</center>
Por el Teorema de los centros, el <math>I_{20}</math> debe estar en la línea que une <math>I_{21}</math> y <math>I_{01}</math>, esto es, el eje <math>OY_1</math>. Por otro lado, la velocidad <math>\vec{v}^{A}_{20}</math> debe ser paralela a la propia barra, pues ésta no puede penetrar en la placa. Por tanto, 
el <math>I_{20}</math> debe estar en la línea perpendicular a la barra trazada por <math>A</math>. El punto de corte de estas dos líneas da la posición del <math>I_{20}</math>. Cuando <math>\theta=\pi/4</math> tenemos
<center>
<math>
\overrightarrow{OI}_{20} = 2d\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>

[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]
[[Categoría:Problemas de cinética del sólido rígido]]
[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]