Barra apoyada sobre placa rectangular (Nov 2017 MR)
Enunciado
La barra de la figura (sólido "2") está articulada en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} . Se apoya sobre el vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de una placa rectangular (sólido "0") de altura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d} . El vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la placa puede deslizar a lo largo de la barra. La placa desliza sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} , de forma que su base está siempre en contacto con el eje. El ángulo que forma la barra con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t) = \omega_0t + \pi/6} , con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_0} constante y positivo.
- Escribe el vector de posición absoluto del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} del sólido "0".
- Encuentra la reducción cinemática de los tres movimientos relativos del sistema.
- Determina aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,O}_{20}} en el instante en que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\pi/4} , así como la posición del C.I.R.
- Determina las posiciones de los C.I.R en ese mismo instante.
Solución
Vector de posición
El vector de posición pedido es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^{\,A}_{01} = \dfrac{d}{\tan\theta}\vec{\imath}_1 + d\vec{\jmath}_1. }
Reducciones cinemáticas
Movimiento {01}
Este movimiento es una traslación, pues los lados de la placa mantienen sus direcciones constantes respecto a los ejes del sólido "1". El vector de posición del apartado anterior sigue siempre al mismo punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} del sólido "0". Entonces se puede derivar respecto del tiempo para calcular la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{01}} . Al ser una traslación, no hay que poner la letra, pues todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01} = \vec{0}, \qquad \vec{v}_{01} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}^{\,A}_{01}}{\mathrm{d}t} \right|_1 = -\dfrac{d\omega_0}{\mathrm{sen}^2\,\theta}\,\vec{\imath}_1. }
Movimiento {21}
Esta es una rotación de eje permanente con C.I.R. en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} . Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \omega_0\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{0}. }
Movimiento {20}
Usamos las leyes de composición. Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} \Longrightarrow \vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = \omega_0\,\vec{k}. }
Y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{v}^{\,O}_{20} + \vec{v}^{\,O}_{01} \Longrightarrow \vec{v}^{\,O}_{20} = \vec{v}^{\,O}_{21} - \vec{v}^{\,O}_{01} = \dfrac{d\omega_0}{\mathrm{sen}^2\,\theta}\,\vec{\imath}_1 }
Derivadas de las reducciones cinemáticas
Movimiento {01}
Derivando respecto al tiempo tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t} \right|_1 = \vec{0}, \qquad \vec{a}_{01} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{01}}{\mathrm{d}t} \right|_1 = \dfrac{2d\omega^2_0\cos\theta}{\mathrm{sen}^3\,\theta}\,\vec{\imath}_1. }
Movimiento {21}
Derivando tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t} \right|_1 = \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,O}_{01} = \left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,O}_{01}}{\mathrm{d}t} \right|_1 = \vec{0}. }
Movimiento {20}
Usamos las leyes de composición. Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} +\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} \Longrightarrow \vec{\alpha}_{20} = \vec{0} }
Y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,O}_{21} = \vec{a}^{\,O}_{20} + \vec{a}^{\,O}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,O}_{20} \Longrightarrow \vec{a}^{\,O}_{20} = \vec{a}^{\,O}_{21} - \vec{a}_{01} - 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,O}_{20} = -\dfrac{2d\omega^2_0\cos\theta}{\mathrm{sen}^3\,\theta}\,\vec{\imath}_1 }
Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\pi/4} tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,O}_{20} = -4d\omega_0^2\,\vec{\imath}_1. }
Posición de los C.I.R en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\pi/4}
La figura de la derecha muestra la posición de los C.I.R. de los movimientos cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\pi/4} . En todo instante tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}\equiv O, \qquad I_{01}\equiv \infty (+Y_1). }
Por el Teorema de los centros, el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} debe estar en la línea que une Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}} , esto es, el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_1} . Por otro lado, la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{A}_{20}} debe ser paralela a la propia barra, pues ésta no puede penetrar en la placa. Por tanto, el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} debe estar en la línea perpendicular a la barra trazada por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . El punto de corte de estas dos líneas da la posición del Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} . Cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\pi/4} tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{20} = 2d\,\vec{\jmath}_1. }
