Ver el código de «Aceleración lineal con el tiempo (GIOI)»

==Enunciado==
Una partícula de masa <math>m=2\,\mathrm{kg}</math> describe un movimiento rectilíneo en el que la aceleración, como función del tiempo sigue la gráfica de la figura. La partícula parte en <math>t=0\,\mathrm{s}</math> del reposo en <math>x=0</math>.
<center>[[Archivo:Aceleracion-lineal-t.png]]</center>
# ¿Cuánto vale la rapidez de la partícula en <math>t=10\,\mathrm{s}</math>?
# ¿Cuál es su velocidad media entre <math>t=0\,\mathrm{s}</math> y <math>t=10\,\mathrm{s}</math>?
# ¿Cuál es la distancia total recorrida entre <math>t=0\,\mathrm{s}</math> y <math>t=10\,\mathrm{s}</math>?
# ¿Cuánto vale la rapidez media en dicho intervalo?

==Rapidez==
Lo primero que debemos hacer es determinar la aceleración como función del tiempo, de ahí la velocidad y de ésta la posición.

La gráfica es la de una recta

<center><math>a=A+Bt\,</math></center>

que en <math>t=0\,\mathrm{s}</math> vale 3&thinsp;m/s&sup2; y en <math>t=2\,\mathrm{s}</math> vale 0. Sustituyendo estos dos valores hallamos A y B y resulta, en el SI

<center><math>a=3-\frac{3}{2}t</math></center>

Integrando esta aceleración obtenemos la velocidad

<center><math>v=v_0+\int_0^t a\,\mathrm{d}t=3t-\frac{3}{4}t^2</math></center>

La velocidad en <math>t=10\,\mathrm{s}</math> es

<center><math>v=\left(30-\frac{300}{4}\right)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=-45\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

y la rapidez

<center><math>|v|= +45\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

==Velocidad media==
Para la velocidad media necesitamos el desplazamiento, para el cual primero debemos hallar la posición como función del tiempo

<center><math>x=x_0+\int_0^t v\,\mathrm{d}t=\frac{3}{2}t^2-\frac{1}{4}t^3</math></center>

que en <math>t=10\,\mathrm{s}</math> es

<center><math>x(10)= -100\,\mathrm{m}</math></center>

lo que nos da la velocidad media

<center><math>v_m= \frac{x(10)-x(0)}{10\,\mathrm{s}}=-10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>

==Distancia total recorrida==
La distancia recorrida no coincide con el desplazamiento porque la velocidad cambia de signo.

El cambio de signo se produce cuando la velocidad se anula lo que ocurre en 

<center><math>3t-\frac{3}{4}t^2=0\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl}t & = & 0\,\mathrm{s} \\ && \\ t & = & 4\,\mathrm{s}\end{array}\right.</math></center>

El desplazamiento entre t&thinsp;=&thinsp;0&thinsp;s y t&thinsp;=&thinsp;4&thinsp;s es

<center><math>\Delta x_1 = x(4\,\mathrm{s})-x(0\,\mathrm{s})=\frac{3}{2}4^2-\frac{1}{4}4^3 = 8\,\mathrm{m}</math></center>

y entre t&thinsp;=&thinsp;4&thinsp;s y t&thinsp;=&thinsp;10&thinsp;s

<center><math>\Delta x_2 = x(10\,\mathrm{s})-x(4\,\mathrm{s})=-100-8 = -108\,\mathrm{m}</math></center>

Por tanto la distancia total recorrida vale

<center><math>\Delta s = |\Delta x_1|+|\Delta x_2| = 116\,\mathrm{m}</math></center>

==Rapidez media==
La rapidez media es la distancia total recorrida dividida por el intervalo de tiempo empleado

<center><math>|v|_m=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{116\,\mathrm{m}}{10\,\mathrm{s}}=1.16\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>