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== Enunciado ==
Calcule el angulo que forman los vectores 
<math>\vec{a} = 2\,\vec{\imath} + 3\,\vec{\jmath} - \vec{k}</math>
y
<math>\vec{b} = -\vec{\imath} + \vec{\jmath} +2\, \vec{k}</math>. Calcule también los cosenos directores de ambos vectores.

== Solución ==
El producto escalar de dos vectores es
<center>
<math>
\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\cos\theta
</math>
</center>
siendo <math>\theta </math> el ángulo que forman los vectores. Es decir
<center>
<math>
\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}
</math>
</center>
Como están expresados en una base cartesiana es fácil hacer estas operaciones. El producto escalar es
<center>
<math>
\vec{a}\cdot\vec{b} = -2 + 3 -2 = -1
</math>
</center>
Los módulos de los vectores son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}} = \sqrt{ 4+9+1} = \sqrt{14}\\
\\
|\vec{b}| = \sqrt{\vec{b}\cdot\vec{b}} = \sqrt{ 1+1+4} = \sqrt{6}
\end{array}
</math>
</center>
El coseno del ángulo es
<center>
<math>
\cos\theta = -\dfrac{1}{\sqrt{14}\sqrt{6}} = -0.109
</math>
</center>
El ángulo es
<center>
<math>
\theta = 1.68\,\mathrm{rad} = 96.3\,\mathrm{^{\circ}}
</math>
</center>

Los cosenos directores son los cosenos de los ángulos que forma el vector con los ejes coordenados. Para el vector <math>\vec{a} </math> tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\cos\alpha_x = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{\imath}}{|\vec{a}|\,|\vec{\imath}|} = \dfrac{a_x}{|\vec{a}|} = 0.535\\
\\
\cos\alpha_y = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{\jmath}}{|\vec{a}|\,|\vec{\jmath}|} = \dfrac{a_y}{|\vec{a}|} = 0.802\\
\\
\cos\alpha_z = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{k}}{|\vec{a}|\,|\vec{k}|} = \dfrac{a_z}{|\vec{a}|} = -0.267
\end{array}
</math>
</center>
Puede comprobarse que <math>\cos^2\alpha_x+\cos^2\alpha_y+\cos^2\alpha_z=1.00 </math>

Para el vector <math>\vec{b} </math> tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\cos\beta_x = \dfrac{\vec{b}\cdot\vec{\imath}}{|\vec{b}|\,|\vec{\imath}|} = \dfrac{b_x}{|\vec{b}|} = -0.408\\
\\
\cos\beta_y = \dfrac{\vec{b}\cdot\vec{\jmath}}{|\vec{b}|\,|\vec{\jmath}|} = \dfrac{b_y}{|\vec{b}|} = 0.408\\
\\
\cos\beta_z = \dfrac{\vec{b}\cdot\vec{k}}{|\vec{b}|\,|\vec{k}|} = \dfrac{b_z}{|\vec{b}|} = 0.816
\end{array}
</math>
</center>
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